Многогранник — геометрическое тело¶

Многогранник — это замкнутое тело в трёхмерном пространстве, ограниченное конечным числом плоских многоугольников (граней), которые попарно соединяются по рёбрам и вершинам. Многогранники являются одним из базовых объектов стереометрии и дискретной геометрии; изучаются также в комбинаторной топологии и компьютерной графике. Термин происходит от греческих слов «πολύς» (много) и «γωνίя» (угол).

¶Основные элементы

Многогранник состоит из трёх типов элементов:

• Вершины — точки, в которых сходятся рёбра;
• Рёбра — отрезки, образованные пересечением двух граней;
• Грани — многоугольники, ограничивающие тело.

Для выпуклого многогранника выполняется формула Эйлера — Пуанкаре: V − E + F = 2, где V — число вершин, E — число рёбер, F — число граней. Например, для куба: 8 − 12 + 6 = 2. Эта формула позволяет проверять согласованность структуры многогранника.

¶Классификация

¶По выпуклости

• Выпуклые многогранники — тела, любые две точки которых соединяются отрезком, целиком лежащим внутри тела. К ним относятся все правильные и полуправильные многогранники.
• Вогнутые (невыпуклые) многогранники — содержат «вдавленные» части; формула Эйлера для них остаётся верной при определённых условиях ориентации граней.

¶По правильности

• Правильные многогранники — все грани являются правильными многоугольниками одинаковой формы, а при каждой вершине сходится одинаковое число рёбер. Известно только пять выпуклых правильных многогранников (платоновы тела): тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр. Их существование доказано ещё в античности.
• Полуправильные (архимедовы) многогранники — грани являются правильными многоугольниками, но не обязательно одинаковыми; при каждой вершине сходится одна и та же последовательность граней. Известно 13 выпуклых архимедовых тел, среди них кубооктаэдр, икосододекаэдр, усечённый тетраэдр.
• Правильные звёздные многогранники — невыпуклые тела, построенные по принципу правильных, например малый звёздчатый додекаэдр. Известно четыре выпуклых звёздчатых тела Кеплера — Пуанкаре.

¶По симметрии

Выделяют также катаэдр — многогранник, у которого все грани симметричны относительно центра тела (например, октаэдр и куб).

¶Выпуклые многогранники

Выпуклые многогранники изучаются наиболее подробно. Классификация выпуклых многогранников с правильными гранями была завершена в XIX веке. Важнейшие семейства:

Для произвольного выпуклого многогранника выполняется теорема о том, что число граней с чётным числом рёбер чётно, а также неравенства, ограничивающие возможные комбинации V, E и F.

¶Невыпуклые и звёздчатые многогранники

Невыпуклые многогранники включают тела с самопересечениями и звёздчатые формы. Звёздчатые многогранники получают путём продолжения рёбер или граней исходного тела до их пересечений. Четыре выпуклых звёздчатых тела были описаны Кеплером в 1619 году в работе «Harmonices Mundi»; их полная классификация для произвольных звёздчатых многогранников дана Луи Пуанкаре в 1900-х годах.

¶Применение

Многогранники широко используются в различных областях:

• Кристаллография — формы кристаллов описывают правильными и архимедовыми многогранниками; в частности, кубическая сингония соответствует симметрии куба.
• Компьютерная графика — трёхмерные модели представляют в виде полигональных сетей, состоящих из треугольников и четырёхугольников.
• Архитектура и дизайн — купола, шатры и объёмы зданий часто основаны на многогранниках; геодезический купол Бакминстера Фуллера построен на основе икосаэдра.
• Математика и физика — многогранники применяются в теории чисел (например, тетраэдральные числа), теории игр и моделировании молекул (структура фуллеренов C₆₀ повторяет форму икосаэдра).
• Комбинаторика — задачи о подсчёте граней, рёбер и вершин многогранников лежат в основе топологической теории.

¶Историческая справка

Платоновы тела описаны в трудах античных математиков — Евклида («Начала», книга XIII) и Архимеда. В XVI веке Кеплер построил модель Солнечной системы, основанную на вложенных правильных многогранниках. В XIX веке были открыты все архимедовы тела, а в 1887 году Виктор Шлегель показал, что выпуклые многогранники в трёхмерном пространстве классифицируются по их комбинаторной структуре.

Источники:

• Евклид. Начала, книга XIII
• Шлегель В. Theorie der homogenen Körper
• Кеплер И. Harmonices Mundi (1619)
• Коксетер Г. С. М. Регулярные полиэдры
• Пуанкаре Л. О классификации звёздчатых многогранников