Октагон — восьмиугольник в геометрии и спорте¶

Октагон — это геометрическая фигура, восьмиугольник, то есть замкнутая плоская фигура, ограниченная восемью отрезками (сторонами) и имеющая восемь вершин. Сумма внутренних углов любого октагона равна 1080°, а сумма внешних углов — 360°. Термин происходит от греческих слов «ὀκτά» (восемь) и «γωνία» (угол). Октагон относится к классу выпуклых многоугольников, если все его внутренние углы меньше 180°, и к невыпуклым (самопересекающимся), если хотя бы один угол превышает 180° или стороны пересекаются.

¶Виды октагонов

По симметрии и свойствам сторон октагоны делятся на несколько основных типов.

¶Правильный октагон

Правильный октагон — это выпуклый октагон, у которого все стороны равны по длине, а все внутренние углы равны между собой. Каждый внутренний угол правильного октагона равен 135°, а внешний — 45°. Правильный октагон обладает вращательной симметрией 8-го порядка и восемью осями симметрии. Площадь правильного октагона со стороной a вычисляется по формуле:

S = 2(1 + √2) · a² ≈ 4,828 · a²

Правильный октагон можно вписать в окружность и описать около него. Радиус описанной окружности связан со стороной соотношением R = a / (2 · sin(π/8)), а радиус вписанной окружности — r = a / (2 · tan(π/8)).

¶Неправильные октагоны

К неправильным октагонам относятся все восьмиугольники, у которых не выполняется хотя бы одно из условий правильности: стороны не равны, углы не равны или отсутствует центральная симметрия. Среди них выделяют:

• Выпуклые октагоны — все внутренние углы меньше 180°;
• Невыпуклые (вогнутые) октагоны — хотя бы один внутренний угол больше 180°;
• Самопересекающиеся октагоны — стороны пересекают друг друга, образуя звездуобразные фигуры.

¶Геометрические свойства

Для произвольного выпуклого октагона выполняются общие свойства многоугольников: сумма внутренних углов равна (n − 2) · 180°, где n = 8, то есть 1080°. Диагонали октагона — это отрезки, соединяющие несмежные вершины. У выпуклого октагона их количество определяется формулой n(n − 3)/2 = 8 · 5 / 2 = 20. Из каждой вершины октагона можно провести n − 3 = 5 диагоналей.

Правильный октагон является центрально-симметричной фигурой: его центр симметрии совпадает с центром описанной окружности. Он также может быть разложен на восемь равных равнобедренных треугольников с общим вершиной в центре.

¶Моделирование и построение

Правильный октагон можно построить с помощью циркуля и линейки. Один из способов — начертить окружность, разделить её на восемь равных частей с помощью двойного деления угла (биссектрисы последовательно делят угол пополам) и соединить полученные точки хордами. В компьютерной графике октагон строится как полигон с восемью вершинами, равномерно расположенными на окружности.

¶Применение

¶В архитектуре и дизайне

Октагон широко используется в архитектуре и планировке зданий. Классический пример — восьмиугольный план купольных построек: собор Святой Софии в Константинополе, мавзолей Хафиза Ахмеда в Агре, а также многие минареты и башни. В России восьмигранные (восьмиугольные) планы применялись при строительстве шатровых церквей и колоколен, например, в архитектуре Юрия Долгорукова и шатровых храмов XVI–XVII веков. Восьмиугольная форма удобна для размещения окон по всем направлениям и обеспечивает равномерное освещение помещений.

В декоративно-прикладном искусстве октагон встречается в виде восьмиугольных рамок, плитки, витражей и орнаментов. В исламской архитектуре восьмиугольная звезда (гирох) является распространённым мотивом, символизирующим восемь райских садов.

¶В спорте

Термин «октагон» в спортивном контексте чаще всего обозначает восьмиугольный ринг для боёв по смешанным единоборствам (ММА). Такая арена была введена организацией Ultimate Fighting Championship (UFC) в 1993 году и с тех пор стала визитной карточкой смешанных единоборств. Восьмиугольная форма ринга обеспечивает бойцам равные углы для передвижения и исключает «углы», характерные для классического квадратного ринга, где боец может быть зажат. Стены октагона выполнены из сетки и мягких подушек, что снижает риск травм при выбросе за пределы площадки.

¶В других областях

Октагон применяется в технике и промышленности: восьмиугольные фланцы, гайки и соединения используются там, где требуется удобство захвата инструментом. В дорожном знаковании восьмиугольная форма используется для знака «Стоп» — единственного в мире дорожного знака такой формы, что позволяет водителю распознать его даже с обратной стороны или при заснеженной поверхности. В кристаллографии октагон встречается в виде сечений кубических кристаллов.

¶Интересные факты

• Правильный октагон является одним из трёх правильных многоугольников (наряду с шестиугольником и квадратом), которым можно замостить плоскость без зазоров и наложений — но только в сочетании с другими фигурами, например с квадратами.
• Восьмиугольник — основа формы кубического октагона (куба, отсечённого по рёбрам), который является одним из архимедовых тел.
• В символике октагон ассоциируется с балансом и переходом: в китайской фэн-шуй восьмиугольник багуа символизирует восемь сторон света и стихий.

Источники:

• Ефимов Н. Н. Геометрия: Учебник для педагогических институтов. — М.: Просвещение.
• Погорелов А. В. Геометрия: Учебное пособие для вузов. — М.: Наука.
• Савелов А. А. Плоские кривые: Систематика, свойства, приложения. — М.: Физматлит.
• Математический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия, 1988.