Октагон — восьмиугольный многоугольник¶
Октагон (от лат. octagonum и др.-греч. ὀκτάγωνον — «восьмиугольный») — многоугольник с восемью сторонами и восемью вершинами. Простейшим выпуклым октагоном является правильный восьмиугольник, все стороны и углы которого равны. Октагон относится к числу базовых геометрических фигур и находит применение в математике, архитектуре, дизайне, дорожном знаковедении и других областях.
¶Виды октагонов
По свойствам сторон и углов октагоны делятся на несколько категорий:
- Правильный октагон — выпуклый многоугольник с равными сторонами и равными внутренними углами. Каждый внутренний угол правильного октагона равен 135°, а сумма всех внутренних углов — 1080°.
- Выпуклый октагон — многоугольник, у которого все внутренние углы меньше 180° и все диагонали лежат внутри фигуры. Правильный октагон является частным случаем выпуклого.
- Вогнутый (невыпуклый) октагон — содержит хотя бы один внутренний угол, превышающий 180°.
- Правильный звёздчатый октагон — звёздчатый многоугольник, построенный на базе восьми вершин; в элементарной геометрии встречается редко, чаще рассматривается в контексте звёздчатых многоугольников.
¶Свойства правильного октагона
Правильный восьмиугольник обладает рядом математических свойств:
- Сумма внутренних углов: $(n-2)\times180° = (8-2)\times180° = 1080°$.
- Каждый внутренний угол: $1080°/8 = 135°$.
- Каждый внешний угол: $360°/8 = 45°$.
- Число диагоналей: $n(n-3)/2 = 8\times5/2 = 20$.
- Площадь при стороне $a$: $S = 2(1+\sqrt{2})a^2 \approx 4{,}828\,a^2$.
- Радиус описанной окружности: $R = \frac{a}{2}\sqrt{4+2\sqrt{2}}$.
- Радиус вписанной окружности: $r = \frac{a}{2}(1+\sqrt{2})$.
Правильный октагон допускает 8 осей симметрии (4 проходят через противоположные вершины, 4 — через середины противоположных сторон) и поворотную симметрию на 45°. Он является центрально-симметричной фигурой.
¶Построение
Правильный октагон можно построить циркулем и линейкой. Классический способ — вписывание в окружность: окружность делится на восемь равных дуг с помощью двукратного деления пополам (построение вписанного квадрата и последующего вписывания в него октагона). Другой подход — построение квадрата и отсечение его четырёх углов под углом 45° при условии, что сторона отрезаемого треугольника равна $\frac{a}{2}(\sqrt{2}-1)$, где $a$ — сторона исходного квадрата.
¶Октагон в природе и кристаллографии
Восьмиугольная симметрия встречается в кристаллографии. Кристаллы в кубической сингонии могут образовывать грани, дающие восьмиугольный силуэт при определённых сечениях. Минерал пирит, например, формирует кристаллы, сочетающие кубические и октаэдрические формы, а сечение ряда кристаллов по диагональной плоскости даёт восьмиугольник. В биологии восьмиугольные структуры наблюдаются у некоторых радиолярий и иглокожих.
¶Применение
¶Архитектура
Восьмиугольный план здания известен с античности. Ротонда восьмиугольной формы применялась в римской архитектуре, а в византийской и средневековой архитектуре восьмиугольные планы получили широкое распространение при строительстве крещален и баптистериев. Классический пример — Баптистерий Сан-Джованни ин Конто во Флоренции (начало XI века), восьмиугольное здание, ставшее образцом для ряда последующих построек. В России восьмиугольные планы использовались при возведении шатровых храмов: переход от восьмигранного основания к шатру был конструктивным приёмом XVI–XVII веков. Примером может служить Покровский собор на Рву (храм Василия Блаженного, 1555–1561), композиция которого построена на сочетании восьмиугольных и квадратных объёмов.
¶Дорожное движение
В Российской Федерации восьмиугольная форма используется для знака «Стоп» (знак приоритета 2.5 по Правилам дорожного движения). Красный восьмиугольник с белой надписью «ДАВАЙТЕ ПРОЕХАЖИВАТЬ» (в современной редакции — «СТОП») является единственным дорожным знаком необычной восьмиугольной формы — это сделано для того, чтобы знак распознавался даже издалека и с обратной стороны. Международная конвенция о дорожном движении (Венская конвенция 1968 года) рекомендует использовать восьмиугольную форму именно для знака «Стоп».
¶Дизайн и символика
Восьмиугольник применяется в декоративно-прикладном искусстве: в орнаментах, паркетных раскладках, планировках садов (французский регулярный сад). В китайской традиции восьмиугольник ба-гуа является важным символом даосской космологии, восемь сторон которого соответствуют восьми триграммам. В исламской архитектуре восьмиугольные формы встречаются в орнаментике и планах мавзолеев.
¶Математика и вычисления
Восьмиугольники используются как основа для восьмиугольной системы счисления (октанарной), а в компьютерных играх и ретро-графике восьмиугольные пиксели (octagonal pixels) применяются как компромисс между квадратными и круглыми сетками.
¶См. также
- Правильный многоугольник
- Октаэдр
- Шестиугольник
- Список многогранников
¶Источники
- Ефимов Н. В. Высшая геометрия. — М.: Наука.
- Понарин Ю. П. Элементарная геометрия. — М.: МЦНМО.
- Правила дорожного движения Российской Федерации (утв. постановлением Правительства РФ от 23.10.1993 № 1090).
- Венская конвенция о дорожном движении, 1968.
- Голицынский Ю. С. Геометрия. Задачи и решения. — СПб.: Лань.