Основное тригонометрическое тождество¶

Основное тригонометрическое тождество — математическое равенство, связывающее квадраты синуса и косинуса одного и того же угла: sin²α + cos²α = 1. Оно выполняется для любого действительного значения угла α и является следствием определения тригонометрических функций через координаты точки на единичной окружности. Это тождество лежит в основе большинства преобразований тригонометрических выражений и позволяет выражать одну функцию через другую.

¶Формулировка и происхождение

Тождество записывается в виде:

sin²α + cos²α = 1.

Символ sin²α означает (sin α)², то есть квадрат значения синуса, а не синус квадрата угла. Аналогично трактуется cos²α.

Вывод тождества опирается на определение синуса и косинуса через единичную окружность. Если отложить от положительного направления оси абсцисс угол α, то соответствующая точка окружности радиуса 1 имеет координаты (cos α; sin α). Поскольку точка лежит на окружности, сумма квадратов её координат равна квадрату радиуса, то есть единице. Отсюда непосредственно следует sin²α + cos²α = 1.

Эквивалентная формулировка вытекает из теоремы Пифагора: в прямоугольном треугольнике с гипотенузой, равной единице, катеты равны косинусу и синусу острого угла, а сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

¶Следствия

Из основного тождества выводится ряд полезных соотношений:

• sin²α = 1 − cos²α;
• cos²α = 1 − sin²α;
• |sin α| = √(1 − cos²α);
• |cos α| = √(1 − sin²α).

Модуль в последних двух формулах необходим, поскольку при извлечении квадратного корня знак функции не определяется однозначно: он зависит от четверти, в которой находится угол.

Тождество позволяет также получать выражения для тангенса и котангенса. Разделив обе части равенства на cos²α (при cos α ≠ 0), получают:

1 + tg²α = 1 / cos²α.

Разделив на sin²α (при sin α ≠ 0), получают:

1 + ctg²α = 1 / sin²α.

Эти формулы широко применяются при преобразовании выражений с тангенсами и котангенсами.

¶Область применения

Основное тригонометрическое тождество используется в нескольких типовых задачах.

Упрощение выражений. С его помощью громоздкие суммы и произведения тригонометрических функций сводятся к более простым формам. Например, выражение sin⁴α + cos⁴α преобразуется к виду 1 − 2sin²α·cos²α.

Нахождение значений функций. Если известно значение одной функции и четверть, в которой лежит угол, вторая функция находится однозначно. Например, при sin α = 0,6 и α во второй четверти косинус равен −0,8, поскольку cos²α = 1 − 0,36 = 0,64, а знак определяется четвертью.

Доказательство тождеств. При доказательстве равенств одну часть преобразуют к другой, опираясь на sin²α + cos²α = 1 как на базовое соотношение.

Решение уравнений. Тождество позволяет сводить уравнения, содержащие разные тригонометрические функции одного аргумента, к уравнениям относительно одной функции.

¶Связь с другими формулами

Основное тождество тесно связано с формулами сложения, двойного и половинного угла. Например, из формулы косинуса двойного угла cos 2α = cos²α − sin²α с учётом основного тождества получают выражения:

• cos 2α = 1 − 2sin²α;
• cos 2α = 2cos²α − 1.

Отсюда, в свою очередь, выводятся формулы понижения степени:

sin²α = (1 − cos 2α) / 2; cos²α = (1 + cos 2α) / 2.

Эти соотношения применяются при интегрировании, в гармоническом анализе и при решении задач физики, где требуется перейти от квадратов тригонометрических функций к функциям удвоенного аргумента.

¶Обобщения

Для гиперболических функций существует аналогичное соотношение: ch²x − sh²x = 1. Оно отличается знаком и отражает различие между окружностью и гиперболой как геометрическими образами соответствующих функций.

В комплексной плоскости тождество сохраняет силу для комплексного аргумента, поскольку определения синуса и косинуса через формулу Эйлера ему не противоречат.

¶Значение в обучении

Основное тригонометрическое тождество входит в базовый курс тригонометрии средней школы и изучается, как правило, в 9–10 классах. Оно относится к числу формул, которые рекомендуется знать наизусть, поскольку на его основе строится дальнейшее изучение тригонометрических преобразований. В инженерных и физических дисциплинах тождество применяется при описании колебаний, волновых процессов, при разложении сигналов в ряды Фурье и в задачах векторной алгебры.

Источники: учебники по алгебре и началам анализа для средней школы, справочники по элементарной математике, курсы тригонометрии для технических вузов.