Параллелепипед: определение, свойства и формулы¶
Параллелепипед — это многогранник, шесть граней которого являются параллелограммами, а три пары граней попарно параллельны и равны. Параллелепипед относится к числу призматических тел: его можно представить как призму с параллелограммом в основании. Специальным случаем является прямоугольный параллелепипед, у которого все грани — прямоугольники; частным случаем также является куб, у которого все рёбра равны, а грани — квадраты.
¶Определение и обозначения
Параллелепипед имеет 8 вершин, 12 рёбер и 6 граней. В каждой вершине сходятся три ребра. Рёбра, не лежащие в одной грани, называются взаимно параллельными; всего у параллелепипеда три группы по четыре параллельных ребра. Длина каждого ребра в своей группе одинакова, поэтому для характеристики параллелепипеда достаточно задать три числа — длины рёбер, выходящих из одной вершины, обозначаемые обычно как a, b и c.
Параллелепипед называется прямоугольным, если все его грани — прямоугольники. В этом случае рёбра, выходящие из любой вершины, попарно перпендикулярны. Если дополнительно a = b = c, получается куб.
¶Основные формулы
¶Объём
Объём параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту:
V = Sосн · h.
Для прямоугольного параллелепипеда формула принимает вид:
V = a · b · c.
Для наклонного параллелепипеда, заданного тремя рёбрами a, b, c, выходящими из одной вершины, и углами между ними, объём выражается через смешанное произведение векторов: V = |(a, b, c)|. Если известны три грани, примыкающие к одной вершине, с площадями S₁, S₂, S₃ и угол между нормалями к ним, объём можно найти по формуле:
V = S₁ S₂ S₃ · √(1 − cos²α − cos²β − cos²γ + 2 cosα cosβ cosγ),
где α, β, γ — углы между соответствующими нормалями.
¶Площадь поверхности
Площадь поверхности параллелепипеда равна сумме площадей всех шести граней. Так как противоположные грани попарно равны, формулу можно записать как:
Sпов = 2(S₁ + S₂ + S₃),
где S₁, S₂, S₃ — площади трёх граней, примыкающих к одной вершине. Для прямоугольного параллелепипеда:
Sпов = 2(ab + ac + bc).
¶Диагонали
Параллелепипед имеет четыре пространственные диагонали, соединяющие попарно противоположные вершины. Все четыре диагонали пересекаются в одной точке — центре параллелепипеда — и делятся этой точкой пополам. Для прямоугольного параллелепипеда длина диагонали выражается через рёбра по формуле:
d = √(a² + b² + c²).
Для произвольного параллелепипеда сумма квадратов четырёх диагоналей равна сумме квадратов всех двенадцати рёбер:
d₁² + d₂² + d₃² + d₄² = 4(a² + b² + c²).
¶Признаки и свойства
Параллелепипед можно определить несколькими эквивалентными способами:
- Шестигранник, у которого три пары противоположных граней попарно параллельны и равны.
- Призма с параллелограммом в основании.
- Параллелограмм, «протянутый» вдоль некоторого направления на вектор, не лежащий в его плоскости.
Среди свойств параллелепипеда отмечают:
- Диагонали пересекаются в общей точке и делятся ею пополам.
- Центр параллелепипеда — точка симметрии тела, центр симметрии относительно которого совпадает с точкой пересечения диагоналей.
- Плоскости, проходящие через центр параллелепипеда и параллельные любой из граней, делят тело на две равные части.
- Объём наклонного параллелепипеда меньше объёма прямоугольного параллелепипеда с теми же рёбрами a, b, c.
¶Классификация
По характеру граней параллелепипеды разделяют на:
| Тип | Характеристика |
|---|---|
| Прямоугольный | Все грани — прямоугольники |
| Куб | Все грани — равные квадраты |
| Наклонный | Хотя бы одна грань — невырожденный параллелограмм, не являющийся прямоугольником |
| Ромбический | Все грани — равные ромбы |
Прямоугольный параллелепипед — наиболее изученный и часто встречающийся тип. Он обладает тремя взаимно перпендикулярными осями симметрии, проходящими через центр и параллельные рёбрам, и тремя плоскостями симметрии, каждая из которых проходит через середины противоположных рёбер.
¶Запись и обозначение в задачах
В геометрических задачах параллелепипед обычно обозначают по вершинам: например, ABCD A₁B₁C₁D₁, где ABCD — основание, а A₁B₁C₁D₁ — верхнее основание, при этом AA₁, BB₁, CC₁, DD₁ — боковые рёбра. Такая запись позволяет однозначно указать любую грань, ребро или диагональ. При решении задач на объём и площадь прямоугольного параллелепипеда достаточно подставить известные длины рёбер в формулы V = abc и Sпов = 2(ab + ac + bc). Для наклонного параллелепипеда требуется дополнительно найти высоту или использовать векторный подход.
Источники:
- Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 7–11 классы.
- Погорелов А. В. Геометрия. 7–11 классы.
- Кочетков Ю. С. Геометрия. Часть 2.