Параллелограмм: определение и свойства¶

Параллелограмм — это выпуклый четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Одновременно параллелограмм можно определить как четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно равны, либо как четырёхугольник, у которого противоположные углы попарно равны. Все три признака равносильны: если выполняется одно из этих условий, выполняются и остальные. Параллелограмм является частным случаем четырёхугольника и трапеции (в широком смысле слова) и, в свою очередь, содержит в себе прямоугольник, ромб и квадрат как частные случаи.

¶Внешний вид и основные элементы

Параллелограмм выглядит как «смещённый» прямоугольник: если взять прямоугольник и наклонить его, сдвинув верхнюю сторону вправо или влево относительно нижней, получится типичный невырожденный параллелограмм. Противоположные стороны имеют одинаковую длину и одинаковый наклон, поэтому фигура выглядит симметричной относительно точки пересечения диагоналей.

Основные элементы параллелограмма:

• Стороны — четыре отрезка, образующих контур. Обозначим их буквами: $AB$, $BC$, $CD$, $DA$. Свойство: $AB = CD$, $BC = DA$.
• Углы — четыре внутренних угла при вершинах $A$, $B$, $C$, $D$. Свойство: противоположные углы равны: $\angle A = \angle C$, $\angle B = \angle D$. Сумма всех углов равна $360°$.
• Диагонали — отрезки $AC$ и $BD$, соединяющие противоположные вершины. Свойство: диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
• Высота — перпендикуляр, опущенный из вершины на противоположную сторону (или её продолжение). У параллелограмма две различные высоты, соответствующие двум парам сторон.

¶Свойства

Параллелограмм обладает набором характерных свойств, по которым он и опознаётся на чертеже:

1. Противоположные стороны параллельны и равны.
2. Противоположные углы равны.
3. Диагонали точкой пересечения делятся пополам (взаимно перпендикулярны диагонали только у ромба и квадрата).
4. Сумма соседних углов равна $180°$ (смежные углы).
5. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
6. Точка пересечения диагоналей является центром симметрии фигуры (центральной симметрии), поэтому параллелограмм совпадает с собой при повороте на $180°$ вокруг этой точки.

¶Признаки параллелограмма

Четырёхугольник является параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из условий:

• противоположные стороны попарно параллельны;
• противоположные стороны попарно равны;
• противоположные углы попарно равны;
• диагонали точкой пересечения делятся пополам;
• одна пара противоположных сторон одновременно равна и параллельна.

Последний признак особенно часто используется при решении задач: достаточно доказать, что $AB = CD$ и $AB ∥ CD$, чтобы заключить, что $ABCD$ — параллелограмм.

¶Формулы

¶Площадь

Площадь параллелограмма вычисляется по формуле:

$$S = a \cdot h,$$

где $a$ — длина стороны, $h$ — высота, опущенная на эту сторону. Эквивалентная формула через две стороны и угол между ними:

$$S = a \cdot b \cdot \sin \alpha,$$

где $a$ и $b$ — длины соседних сторон, $\alpha$ — угол между ними. Также площадь можно выразить через векторы сторон: $S = |\vec{a} \times \vec{b}|$.

¶Периметр

Периметр равен удвоенной сумме соседних сторон:

$$P = 2(a + b).$$

¶Длины диагоналей

Длины диагоналей связаны со сторонами и углом между ними через закон косинусов для треугольников, на которые диагонали делят параллелограмм:

$$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\alpha, \quad d_2^2 = a^2 + b^2 + 2ab\cos\alpha.$$

Отсюда следует соотношение, известное как теорема параллелограмма:

$$d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2),$$

то есть сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех четырёх сторон.

¶Частные случаи

У прямоугольника диагонали равны; у ромба диагонали перпендикулярны; у квадрата выполняются оба свойства одновременно.

¶Построение

Для построения параллелограмма по двум сторонам и углу между ними, либо по трём точкам вершин, используется циркуль и линейка. Зная три вершины $A$, $B$, $C$, четвёртую вершину $D$ можно найти как точку, симметричную $B$ относительно середины отрезка $AC$ — это следует из свойства диагоналей.

¶Применение

Параллелограмм встречается в геометрии как базовая фигура для введения понятия площади многоугольников: площадь любого выпуклого многоугольника может быть выражена через сумму площадей треугольников, а любой треугольник, в свою очередь, дополняется до параллелограмма удвоением. В физике и инженерии параллелограмм лежит в основе механизма параллелограммной тяги — например, в подъёмниках и некоторых шасси. В кристаллографии и молекулярной геометрии параллелограммная (ромбическая) ячейка является одной из простейших решёток.

¶История

Понятие параллелограмма и его свойства были изучены ещё в античности: Евклид в «Началах» (книга I, определения и теоремы о параллелограммах) сформулировал основные признаки и свойства этой фигуры. Термин «параллелограмм» происходит от греческих слов παραλληλόγραμμος — «составленный из параллельных линий».

¶Источники

• Евклид. Начала, книга I.
• Погорелов А. В. Геометрия: учебник для 7—11 классов.
• Атанасян Л. С. и др. Геометрия: учебник для 7—9 классов.
• Кочетков Ю. С. Геометрия: учебное пособие.