Пьер де Ферма

Пьер де Ферма (17 августа 1601, Бомон-де-Ломань, Франция — 12 января 1665, Кастр, Франция) — французский математик-самоучка, юрист и советник парламента, один из создателей аналитической геометрии, теории чисел и теории вероятностей. Наибольшую известность получил благодаря сформулированной им Великой теореме Ферма, которая оставалась недоказанной более 350 лет и была окончательно доказана лишь в 1994 году английским математиком Эндрю Уайлсом.

Биография

Пьер де Ферма родился в семье состоятельного торговца кожей и консула города Бомон-де-Ломань Доминика Ферма и Клер де Лонг. Точные обстоятельства его раннего образования неизвестны, однако предполагается, что он получил классическое гуманитарное образование в коллеже города Тулузы, а затем изучал право в университетах Тулузы и Орлеана. В 1631 году Ферма женился на Луизе де Лонг, дальней родственнице, от которой имел пятерых детей.

Основная профессиональная деятельность Ферма была связана с юриспруденцией. С 1631 года он занимал должность советника парламента (судебной палаты) в Тулузе, а с 1638 года — в Кастре. Математика оставалась для него увлечением, которому он посвящал свободное время. Ферма вёл активную переписку с ведущими учёными того времени, включая Рене Декарта, Блеза Паскаля, Марена Мерсенна и Джона Валлиса. В отличие от большинства коллег, он крайне неохотно публиковал свои работы, предпочитая излагать результаты в письмах или на полях книг. Большинство его трудов было опубликовано посмертно, в частности, его сыном Самуэлем Ферма в 1679 году.

Математические достижения

Теория чисел

Ферма считается основоположником современной теории чисел. Его главные результаты в этой области были сформулированы в виде теорем и задач, многие из которых были доказаны лишь спустя столетия.

• Малая теорема Ферма: Если \( p \) — простое число, а \( a \) — целое число, не делящееся на \( p \), то \( a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} \). Эта теорема является фундаментальной в криптографии и теории чисел.
• Теорема Ферма о сумме двух квадратов: Простое число \( p \) представимо в виде суммы двух квадратов целых чисел тогда и только тогда, когда \( p = 2 \) или \( p \equiv 1 \pmod{4} \).
• Метод бесконечного спуска: Ферма разработал метод доказательства от противного, основанный на том, что если существует решение уравнения в натуральных числах, то можно построить ещё меньшее решение, что приводит к противоречию. Этот метод он использовал для доказательства многих теорем.
• Великая теорема Ферма: Утверждение о том, что для целого \( n > 2 \) уравнение \( x^n + y^n = z^n \) не имеет решений в натуральных числах. Ферма записал её на полях «Арифметики» Диофанта с пометкой: «Я нашёл этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него». Доказательство было найдено только в 1994 году Эндрю Уайлсом с использованием сложных методов алгебраической геометрии.

Аналитическая геометрия

Независимо от Рене Декарта, Ферма разработал основы аналитической геометрии. В 1636 году он написал трактат «Введение в изучение плоских и телесных мест», где впервые явно ввёл понятие координат и показал, что уравнения первой степени соответствуют прямым линиям, а второй степени — коническим сечениям (окружностям, эллипсам, параболам, гиперболам). Хотя работа Декарта «Геометрия» (1637) получила более широкую известность, Ферма использовал более современную систему координат с осями, перпендикулярными друг другу, и ввёл понятие «функции» в геометрическом контексте.

Теория вероятностей

В 1654 году по переписке с Блезом Паскалем Ферма заложил основы теории вероятностей. Поводом послужила «задача о разделе ставок» (или «задача о точках»), поставленная перед Паскалем азартным игроком шевалье де Мере. Ферма и Паскаль независимо друг от друга разработали методы подсчёта вероятностей, что привело к созданию математической теории случайных событий.

Дифференциальное исчисление

Ферма внёс значительный вклад в развитие методов нахождения максимумов и минимумов функций, а также касательных к кривым. Он разработал метод, основанный на приравнивании двух значений функции в точках, расположенных бесконечно близко друг к другу (метод «адаптации»). Этот метод, известный как «метод Ферма», является предшественником современного дифференциального исчисления. Ферма также применял его для нахождения центров тяжести и вычисления площадей фигур.

Оптика

В 1657 году Ферма сформулировал принцип Ферма (или принцип наименьшего времени): свет распространяется по пути, на преодоление которого требуется минимальное время. Этот принцип позволил объяснить законы отражения и преломления света, выведенные ранее Снеллиусом и Декартом, и стал основой геометрической оптики.

Публикации и наследие

При жизни Ферма опубликовал лишь несколько работ, в основном в виде писем и заметок. Его главные труды были изданы посмертно:

• «Введение в изучение плоских и телесных мест» (1679, издано сыном).
• «Различные работы по математике» (1679).
• «Переписка» (собрание писем, опубликованное в XIX веке).

Наиболее известным источником его идей является экземпляр «Арифметики» Диофанта (издание 1621 года), на полях которого Ферма делал свои знаменитые пометки. Эти заметки были опубликованы в 1670 году его сыном Самуэлем.

Ферма не стремился к академической карьере и не занимал университетских должностей. Его вклад в математику был признан лишь после смерти, когда его работы начали систематически изучать. В честь Ферма названы:

• Великая теорема Ферма.
• Малая теорема Ферма.
• Числа Ферма (\( F_n = 2^{2^n} + 1 \)).
• Принцип Ферма в оптике.
• Кратер Ферма на Луне.
• Астероид (12008) Ферма.

Критика и споры

При жизни Ферма имел напряжённые отношения с Рене Декартом. Декарт критиковал Ферма за его методы нахождения максимумов и минимумов, считая их недостаточно строгими. Однако впоследствии методы Ферма были признаны более точными и эффективными. Также существуют споры о приоритете в создании аналитической геометрии: хотя Декарт опубликовал свою работу раньше, Ферма разработал более совершенную систему координат и использовал её для решения задач, которые Декарт не рассматривал.

Источники

• Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики. — М.: Наука, 1984.
• Белл Э. Т. Творцы математики. — М.: Просвещение, 1979.
• Математика XVII столетия / Под ред. А. П. Юшкевича. — М.: Наука, 1970.
• Саймон Сингх. Великая теорема Ферма. — М.: МЦНМО, 2000.
• Пьер де Ферма. Математические труды / Пер. с лат. и франц. — М.: Наука, 1984.