Полигамма-функция

Полигамма-функция — это семейство специальных функций, определяемых как логарифмические производные гамма-функции. Они широко используются в математическом анализе, теории чисел, статистике и квантовой физике для представления сумм рядов, интегралов и асимптотических разложений.

Определение

Полигамма-функция порядка \( m \) (где \( m \) — неотрицательное целое число) обозначается как \( \psi^{(m)}(z) \) и определяется формулой:

\[ \psi^{(m)}(z) = \frac{d^{m+1}}{dz^{m+1}} \ln \Gamma(z) = \frac{d^m}{dz^m} \psi(z), \]

где \( \Gamma(z) \) — гамма-функция, а \( \psi(z) = \psi^{(0)}(z) \) — дигамма-функция (полигамма-функция нулевого порядка). Для \( m = 0 \) полигамма-функция совпадает с дигамма-функцией, для \( m = 1 \) — с тригамма-функцией, и так далее.

Аргумент \( z \) может быть комплексным числом, за исключением неположительных целых чисел (0, -1, -2, …), где гамма-функция имеет полюсы, и, следовательно, полигамма-функция также имеет полюсы.

История

Полигамма-функции были введены в математический обиход в XIX веке в связи с развитием теории специальных функций. Название «полигамма-функция» предложил немецкий математик Леопольд Кронекер. Систематическое изучение этих функций связано с работами Карла Фридриха Гаусса, Нильса Хенрика Абеля и Бернхарда Римана. В XX веке полигамма-функции нашли применение в квантовой теории поля, где они используются для вычисления диаграмм Фейнмана и регуляризации расходимостей.

Основные свойства

Рекуррентные соотношения

Для полигамма-функции справедливо рекуррентное соотношение:

\[ \psi^{(m)}(z+1) = \psi^{(m)}(z) + (-1)^m \frac{m!}{z^{m+1}}. \]

Для дигамма-функции (\( m = 0 \)) это соотношение принимает вид:

\[ \psi(z+1) = \psi(z) + \frac{1}{z}. \]

Представление в виде ряда

Полигамма-функция может быть представлена в виде ряда:

\[ \psi^{(m)}(z) = (-1)^{m+1} m! \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(z+k)^{m+1}}, \]

где \( m \ge 1 \). Для \( m = 0 \) (дигамма-функция) используется другое представление:

\[ \psi(z) = -\gamma + \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{1}{k+1} - \frac{1}{z+k} \right), \]

где \( \gamma \approx 0,57721 \) — постоянная Эйлера — Маскерони.

Интегральное представление

Для \( m \ge 1 \) и \( \operatorname{Re}(z) > 0 \) полигамма-функция выражается через интеграл:

\[ \psi^{(m)}(z) = (-1)^{m+1} \int_0^{\infty} \frac{t^m e^{-zt}}{1 - e^{-t}} \, dt. \]

Для дигамма-функции:

\[ \psi(z) = \int_0^{\infty} \left( \frac{e^{-t}}{t} - \frac{e^{-zt}}{1 - e^{-t}} \right) dt. \]

Асимптотическое разложение

При больших значениях \( |z| \) и \( |\arg z| < \pi \) полигамма-функция ведёт себя как:

\[ \psi^{(m)}(z) \sim (-1)^{m+1} \left( \frac{(m-1)!}{z^m} + \frac{m!}{2 z^{m+1}} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{B_{2k} (2k+m-1)!}{(2k)! z^{2k+m}} \right), \]

где \( B_{2k} \) — числа Бернулли. Для дигамма-функции:

\[ \psi(z) \sim \ln z - \frac{1}{2z} - \sum_{k=1}^{\infty} \frac{B_{2k}}{2k z^{2k}}. \]

Функциональное уравнение

Полигамма-функция удовлетворяет функциональному уравнению:

\[ \psi^{(m)}(1-z) + (-1)^m \psi^{(m)}(z) = (-1)^m \pi \frac{d^m}{dz^m} \cot(\pi z). \]

Для \( m = 0 \) это уравнение сводится к формуле отражения для дигамма-функции:

\[ \psi(1-z) - \psi(z) = \pi \cot(\pi z). \]

Частные значения

Для некоторых аргументов полигамма-функция выражается через известные константы:

• \( \psi(1) = -\gamma \).
• \( \psi^{(1)}(1) = \frac{\pi^2}{6} \) (значение дзета-функции Римана \( \zeta(2) \)).
• \( \psi^{(2)}(1) = -2 \zeta(3) \), где \( \zeta(3) \) — постоянная Апери.
• \( \psi^{(m)}(1) = (-1)^{m+1} m! \zeta(m+1) \), где \( \zeta \) — дзета-функция Римана.

Для полуцелых значений:

• \( \psi\left(\frac{1}{2}\right) = -\gamma - 2 \ln 2 \).
• \( \psi^{(1)}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi^2}{2} \).

Применение

В математическом анализе

Полигамма-функции используются для суммирования рядов вида \( \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(k+a)^n} \) и вычисления определённых интегралов. Например, с их помощью выражаются суммы обратных степеней натуральных чисел (обобщённые гармонические числа).

В теории чисел

Полигамма-функции связаны с дзета-функцией Римана и L-функциями Дирихле. Они применяются при анализе распределения простых чисел и в теории дзета-функции Гурвица.

В статистике

В статистике полигамма-функции используются для вычисления моментов логарифмически нормального распределения, а также в теории обобщённых линейных моделей. Дигамма-функция применяется в контексте гамма-распределения и обратного гамма-распределения.

В физике

В квантовой теории поля полигамма-функции возникают при вычислении квантовых поправок (например, в методе размерной регуляризации). Они также используются в термодинамике для описания свойств идеального газа Бозе — Эйнштейна.

Связь с другими функциями

Полигамма-функция тесно связана с:

• Гамма-функцией: \( \psi^{(m)}(z) = \frac{d^{m+1}}{dz^{m+1}} \ln \Gamma(z) \).
• Дзета-функцией Гурвица: \( \zeta(s, a) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(k+a)^s} \), откуда \( \psi^{(m)}(a) = (-1)^{m+1} m! \zeta(m+1, a) \).
• Гармоническими числами: \( H_n = \psi(n+1) + \gamma \), где \( H_n = 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n} \).

Обобщения

Существуют обобщения полигамма-функции, такие как q-полигамма-функция (или q-дигамма-функция), которая связана с q-гамма-функцией и используется в квантовой математике. Также известны многомерные полигамма-функции, применяемые в теории представлений и алгебраической геометрии.

Интересные факты

• Полигамма-функция имеет полюсы первого порядка при всех неположительных целых значениях аргумента. Для \( m = 0 \) вычеты равны 1, для \( m \ge 1 \) — \( (-1)^m m! \).
• Значения полигамма-функции при натуральных аргументах связаны с числами Бернулли и дзета-функцией Римана.
• В современной математике полигамма-функции реализованы в большинстве систем компьютерной алгебры, таких как Wolfram Mathematica, Maple и MATLAB.

Источники

• Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. — М.: Наука, 1979.
• Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Том 1. — М.: Наука, 1973.
• Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — М.: Физматлит, 1963.
• Olver F. W. J. et al. NIST Handbook of Mathematical Functions. — Cambridge University Press, 2010.