Правильная пирамида¶
Правильная пирамида — это многогранник, у которого основание является правильным многоугольником, а боковые грани — равнобедренные треугольники, сходящиеся в одной вершине. Правильная пирамида относится к числу правильных многогранников в широком смысле: её симметрия определяется симметрией основания. Наиболее известные случаи — тетраэдр (правильная пирамида с треугольным основанием), пятигранная пирамида и шестигранная пирамида.
¶Определение и свойства
Пусть основание пирамиды — правильный многоугольник с числом сторон $n$. Тогда правильная пирамида обладает следующими признаками:
- вершина пирамиды проецируется в центр основания (ось пирамиды перпендикулярна основанию);
- все боковые рёбра равны между собой;
- все боковые грани — равные между собой равнобедренные треугольники;
- пирамида имеет $n$ плоскостей симметрии, проходящих через вершину и вершины основания (при нечётном $n$) или через вершину и середины противоположных сторон основания (при чётном $n$).
Если боковые грани являются равносторонними треугольниками, пирамида называется правильной пирамидой в строгом смысле — в этом случае она может быть вписана в сферу, а все её грани (включая основание) равны.
¶Основные формулы
Обозначим:
- $n$ — число сторон основания;
- $a$ — длина стороны основания;
- $h$ — высота пирамиды (перпендикуляр от вершины к основанию);
- $l$ — апофема (высота боковой грани, отсекающая от вершины равнобедренного треугольника);
- $R$ — радиус описанной около основания окружности;
- $r$ — радиус вписанной в основание окружности.
Тогда:
| Величина | Формула |
|---|---|
| Площадь основания | $S_{осн} = \frac{n a^2}{4} \operatorname{ctg} \frac{\pi}{n}$ |
| Площадь боковой поверхности | $S_{бок} = \frac{n a l}{2}$ |
| Полная площадь поверхности | $S = S_{осн} + S_{бок}$ |
| Объём | $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$ |
| Апофема | $l = \sqrt{h^2 + r^2}$ |
| Боковое ребро | $e = \sqrt{h^2 + R^2}$ |
Формула объёма пирамиды — частный случай общего правила: объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту, независимо от формы основания.
¶Классификация
По числу сторон основания правильные пирамиды разделяются на:
- Треугольная пирамида ($n = 3$). Если все рёбра равны, получается правильный тетраэдр — единственный правильный многогранник, являющийся одновременно пирамидой.
- Четырёхгранная пирамида ($n = 4$). При равных рёбрах — правильный октаэдр, если рассматривать два таких тетраэдра, соединённых основаниями.
- Пятигранная пирамида ($n = 5$). Боковые грани — равносторонние треугольники, основание — правильный пятиугольник.
- Шестигранная пирамида ($n = 6$) и далее — пирамиды с основанием-правильным $n$-угольником.
¶Вписывание и описанная сфера
Правильная пирамида вписывается в сферу тогда и только тогда, когда все её рёбра равны (правильная пирамида в строгом смысле). Радиус $R_{сф}$ описанной сферы при этом вычисляется по формуле:
$$R_{сф} = \frac{e^2}{2h},$$
где $e$ — длина бокового ребра, $h$ — высота пирамиды.
¶Применение
Правильные пирамиды встречаются в архитектуре и строительстве: классический пример — египетские пирамиды, хотя они не являются правильными в строгом геометрическом смысле (их основание — прямоугольник, а не правильный многоугольник). В математике правильные пирамиды используются как наглядные примеры при изучении объёмов, площадей и симметрии многогранников. Пирамидальная форма применяется в технике — например, в конструкциях опор, антенных отражателей и кристаллографии, где правильные пирамиды описывают форму кристаллов.
¶Интересные факты
- Правильный тетраэдр — единственная правильная пирамида, у которой все грани (включая основание) равны и являются правильными треугольниками.
- Сумма углов при вершине правильной пирамиды с основанием-правильным $n$-угольником зависит от высоты и не является постоянной величиной.
- Пирамида с основанием-правильным $n$-угольником при $n \to \infty$ переходит в правильный конус.
Источники:
- Киселёв А. П. «Геометрия»
- Атанасян Л. С. и др. «Геометрия. 7–9 классы»
- Ильин В. А., Кузьмин Н. А. «Курс стереометрии»
- Кочин Н. Н. «Векторное исчисление и начала тензорного исчисления»