Пятиугольник в геометрии¶

Пятиугольник (греч. πεντάγωνον, от πέντε — пять и γωνία — угол) — плоская геометрическая фигура, многоугольник с пятью сторонами и пятью вершинами. Относится к классу простых многоугольников; сумма внутренних углов любого простого пятиугольника составляет 540°. Пятиугольники изучаются в евклидовой планиметрии, а также встречаются в кристаллографии, архитектуре, геральдике и прикладной графике.

¶Основные свойства

Для любого простого (несамопересекающегося) пятиугольника справедливы общие соотношения:

• число сторон и вершин — 5;
• сумма внутренних углов — 540°, каждый угол правильного пятиугольника равен 108°;
• сумма внешних углов — 360°;
• число диагоналей вычисляется по формуле n(n−3)/2 и равно 5;
• диагонали образуют внутреннюю фигуру — пентаграмму.

Пятиугольник может быть выпуклым и невыпуклым. Выпуклый пятиугольник целиком лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону. Невыпуклый (вогнутый) имеет хотя бы один внутренний угол больше 180°.

¶Правильный пятиугольник

Правильный пятиугольник — выпуклый пятиугольник, у которого все стороны равны и все углы равны 108°. Он обладает осевой симметрией пятого порядка и поворотной симметрией вокруг центра на углы, кратные 72°.

Ключевые характеристики правильного пятиугольника со стороной a:

Отношение диагонали правильного пятиугольника к его стороне равно золотому сечению φ. Это свойство делает фигуру одной из базовых в геометрии пропорций и объясняет её распространённость в искусстве и архитектуре.

Правильный пятиугольник — единственный многоугольник с числом сторон меньше шести, который нельзя замостить правильными многоугольниками без зазоров: правильными пятиугольниками плоскость без перекрытий не покрывается.

¶Построение

Правильный пятиугольник строится циркулем и линейкой — это одна из классических задач античной геометрии. Евклид в «Началах» (книга IV) приводит построение вписанного в окружность правильного пятиугольника. Алгоритм опирается на деление радиуса по золотому сечению и последовательное откладывание хорд, стягивающих дуги по 72°.

Существуют и приближённые способы построения, применяемые в черчении, а также точные построения с помощью пентаграммы: вершины правильного пятиугольника совпадают с вершинами пентаграммы, вписанной в ту же окружность.

¶Пентаграмма

Пентаграмма — самопересекающийся пятиугольник, образуемый диагоналями правильного пятиугольника. Это простейший звёздчатый многоугольник, символ, известный с древности. В пифагорейской традиции пентаграмма служила опознавательным знаком и символом гармонии; позднее использовалась в геральдике, а также в различных оккультных и религиозных контекстах. Внутри пентаграммы при проведении всех диагоналей возникает меньший правильный пятиугольник, и процесс самоподобия может продолжаться бесконечно — это один из ранних примеров фрактальной структуры.

¶Классификация

Помимо правильного, выделяют несколько типов пятиугольников:

• Равносторонний — все стороны равны, но углы могут различаться.
• Равноугольный — все углы равны (по 108°), но стороны могут быть разной длины.
• Вписанный — все вершины лежат на одной окружности.
• Описанный — все стороны касаются одной окружности.
• Звёздчатый — самопересекающийся, частный случай — пентаграмма.
• Мономиальный — пятиугольник, у которого все вершины имеют целочисленные координаты на плоскости.

¶Применение и встречаемость

Форма пятиугольника широко используется в практических областях:

• Архитектура. Здание Министерства обороны США (Пентагон) имеет в плане правильный пятиугольник; пятиугольные бастионы характерны для фортификации Нового времени.
• Геральдика и символика. Пятиконечные звёзды присутствуют на флагах и гербах многих государств, в том числе на флагах СССР и современной КНР, а также на воинских знаках различия.
• Природа. Пятилучевая симметрия встречается у иглокожих (морские звёзды, морские ежи), у цветков многих растений (яблоня, вишня, шиповник), в строении плодов.
• Кристаллография. Пятиугольная симметрия несовместима с трансляционной решёткой классических кристаллов, однако реализуется в квазикристаллах, открытых в 1980-х годах (за это открытие Д. Шехтман получил Нобелевскую премию по химии в 2011 году).
• Спорт и разметка. Пятиугольники образуют чёрные панели классического футбольного мяча; пятиугольная форма используется в дорожных знаках ряда стран.
• Математика. Пятиугольные числа — разновидность фигурных чисел вида n(3n−1)/2; пятиугольник служит основой для построения мозаик Пенроуза.

¶Пятиугольные числа и обобщения

Пятиугольное число Pₙ = n(3n−1)/2 задаёт количество точек, которые можно расположить в форме правильного пятиугольника. Последовательность начинается так: 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70… Пятиугольные числа связаны с обобщённой теоремой Ферма о многоугольных числах, утверждающей, что любое натуральное число представимо суммой не более пяти пятиугольных чисел.

В многомерном обобщении пятиугольник — двумерный аналог пятимерного симплекса; в топологии и комбинаторике рассматриваются абстрактные пятиугольники и их графы, применяемые в теории графов и теории кодирования.

¶Интересные факты

• Диагонали правильного пятиугольника пересекаются в точках, делящих их в золотом сечении.
• Правильный пятиугольник невозможно использовать для замощения плоскости без зазоров, в отличие от треугольника, квадрата и шестиугольника.
• Отношение стороны правильного пятиугольника к радиусу описанной окружности связано с числом √(10 − 2√5)/2.
• Пятиугольник — минимальный многоугольник, у которого диагонали образуют замкнутую внутреннюю фигуру (пентаграмму).

Источники: Евклид, «Начала», книга IV; «Энциклопедия элементарной математики», т. IV (геометрия); справочники по элементарной геометрии; материалы по квазикристаллам и фигурным числам.