Приращение — понятие в математике и философии¶
Приращение — это изменение величины, её прибавка или убыль относительно некоторого начального значения. Термин широко применяется в математике (анализ, алгебра, теория вероятностей), физике, экономике и философии, где обозначает акт увеличения чего-либо, противоположный убыванию. В математическом анализе под приращением понимают разность между новым и исходным значениями переменной или функции.
¶Этимология
Русское слово «приращение» восходит к церковнославянскому и старорусскому «приращение» — «прибавление, увеличение», образованному от глагола «приращати» (прибавлять, увеличивать), который в свою очередь связан с «расти». В латинской традиции этому понятию соответствует incrementum (от increscere — «расти»), в английском — increment.
¶Приращение в математике
¶Приращение аргумента и функции
В математическом анализе приращение — центральное понятие при определении производной. Пусть функция $y = f(x)$ определена в некоторой точке $x_0$. Если аргумент $x$ изменится на величину $\Delta x$, то функция получит приращение:
$$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$$
Величина $\Delta x$ называется приращением аргумента, а $\Delta y$ — приращением функции. Производная функции в точке $x_0$ определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю:
$$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$$
Это определение, предложенное Готфридом Лейбницем и в современном виде сформулированное в работах Карла Вейерштрасса, лежит в основе дифференциального исчисления. Приращение функции можно представить в виде:
$$\Delta y = f'(x_0) \Delta x + o(\Delta x)$$
где первое слагаемое — линейная (дифференциальная) часть приращения, а $o(\Delta x)$ — бесконечно малый старшего порядка. Свободная часть, равная $dy = f'(x_0)\Delta x$, называется дифференциалом функции.
¶Приращение в линейной алгебре
В линейной алгебре приращением вектора называют вектор, прибавляемый к исходному. Понятие используется при описании аффинных преобразований, сдвигов и в численных методах линейных уравнений (методах с поправкой, методе Гаусса — Зейделя и др.), где решение уточняется путём последовательного прибавления поправок-приращений.
¶Приращение в теории вероятностей
В теории вероятностей приращения случайной величины — это её разность в двух моментах времени: $\Delta X = X(t_2) - X(t_1)$. Понятие приращения процесса лежит в основе определения процессов с независимыми приращениями (процессов Пуассона, броуновского движения), которые являются фундаментом стохастического анализа.
¶Приращение в физике
В физике приращение обозначает малое изменение величины и записывается через дифференциал: $dQ$ — приращение теплоты, $dA$ — приращение работы, $dE$ — приращение энергии. В термодинамике первое начало формулируется через приращения внутренней энергии, теплоты и работы. В механике приращение координаты за малый интервал времени определяет мгновенную скорость.
¶Приращение в экономике
В экономике и бухгалтерском учёте приращение капитала — это увеличение его стоимости за счёт накопления прибавочной стоимости, амортизации основных средств или переоценки активов. Понятие используется в макроэкономических моделях (модель Солоу, где приращение капитала определяет динамику накопления) и в теории экономического роста. В статистике и демографии приращение населения — разность численности за определённый период.
¶Приращение в философии
В философии приращение (лат. incrementum) — процесс увеличения, количественного изменения, одна из форм движения материи. Понятие приращения обсуждалось ещё в античной философии: Аристотель в «Физике» рассматривал рост как особый вид изменения, отличный от перемещения и превращения. В схоластике (Фома Аквинский) приращение использовалось при обсуждении проблемы роста живых организмов и природы души. В диалектике приращение рассматривается как количественное изменение, подготавливающее качественный скачок.
¶Связанные понятия
- Дифференциал — линейная часть приращения функции
- Инкремент — английский и латинский эквивалент термина
- Поправка — приращение, уточняющее приближённое значение в численных методах
- Прибавочная стоимость — категория марксистской экономической теории, связанная с приращением капитала
¶Примечания
Понятие приращения вводится на первых курсах математического анализа в курсе высшей математики технических вузов и является одним из фундаментальных для всей математики XX–XXI веков.
Источники:
- Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа
- Фихтенгольц Г. М. Курс математического анализа
- Бородин А. И., Попов А. И. Словарь математических терминов
- Энгельс Ф. Диалектика природы
- Словарь русского языка С. И. Ожегова