Равные диагонали параллелограмма¶

Равные диагонали параллелограмма — геометрическое свойство, характеризующее особый класс параллелограммов: если диагонали четырёхугольника, являющегося параллелограммом, равны между собой, то этот параллелограмм является прямоугольником. Утверждение является частным случаем более общей теоремы и служит одним из критериев определения прямоугольника среди параллелограммов.

¶Теорема и доказательство

Формулировка теоремы: если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.

Доказательство. Пусть $ABCD$ — параллелограмм, у которого диагонали равны: $AC = BD$. Обозначим точку пересечения диагоналей через $O$. По свойству параллелограмма диагонали точкой $O$ разделяются пополам, то есть $AO = OC$ и $BO = OD$. Из равенства $AC = BD$ следует, что $AO = BO$ и $CO = DO$.

Рассмотрим треугольник $AOB$. Так как $AO = BO$, треугольник равнобедренный, и его углы при основании равны: $\angle OAB = \angle OBA$. Аналогично, в треугольнике $COD$ имеем $\angle OCD = \angle ODC$.

Параллельность сторон $AB$ и $CD$ прямой $AC$ как секущей даёт равенство накрест лежащих углов: $\angle OAB = \angle OCD$. Следовательно, все четыре угла $\angle OAB$, $\angle OBA$, $\angle OCD$, $\angle ODC$ равны между собой.

Сумма углов треугольника $AOB$ равна $180°$, поэтому $2\angle OAB + \angle AOB = 180°$. В треугольнике $AOB$ угол при вершине $O$ и угол $\angle DAB$ параллелограмма связаны: $\angle DAB = \angle OAB + \angle OAD$. Из равенства $\angle OAB = \angle OBA$ и симметричных рассуждений для треугольника $AOD$ (в котором $AO = DO$) получаем $\angle OAD = \angle ODA = \angle OAB$. Таким образом, $\angle DAB = \angle OAB + \angle OAB = 2\angle OAB$.

Прямая $BD$ — секущая для параллельных прямых $AB$ и $CD$, поэтому $\angle ABD = \angle BDC$, то есть $\angle OBA = \angle ODC$; это уже было показано. Угол $\angle DAB$ и угол $\angle ABD$ — это углы треугольника $ABD$, и мы установили, что $\angle OAB = \angle OBA$. Так как $\angle DAB = 2\angle OAB$, а $\angle ABD = \angle OBA = \angle OAB$, остаётся рассмотреть треугольник $ABD$: его углы при вершинах $A$ и $B$ равны $\angle DAB = 2\alpha$ и $\angle ABD = \alpha$, где $\alpha = \angle OAB$. Тогда $\angle ADB = 180° - 3\alpha$. Но $\angle ADB = \angle ODA + \angle ODB = \alpha + \angle ODB$, а $\angle ODB = \angle OBD$ (треугольник $BOD$ равнобедренный), то есть $\angle ODB = \alpha$. Следовательно, $\angle ADB = 2\alpha$. Из равенства углов треугольника $ABD$: $2\alpha + \alpha + 2\alpha = 180°$, откуда $\alpha = 36°$ — это неверно для произвольного параллелограмма, что указывает на ошибку в цепочке рассуждений.

Более корректное доказательство. Рассмотрим треугольники $ABC$ и $DCB$. В них: $AB = DC$ (противоположные стороны параллелограмма), $BC = CB$ (общая сторона), $AC = DB$ (по условию). Значит, треугольники равны по третьему признаку: $\triangle ABC \cong \triangle DCB$. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle ABC = \angle DCB$.

Параллелограмм, у которого смежные углы равны, — прямоугольник. Действительно, смежные углы параллелограмма в сумме дают $180°$ (как внутренние односторонние при параллельных прямых), поэтому из $\angle ABC = \angle DCB$ следует $\angle ABC = \angle DCB = 90°$. Угол в $90°$ при одной из сторон означает, что параллелограмм — прямоугольник. Теорема доказана.

¶Обратное утверждение

Обратная теорема также верна: диагонали прямоугольника равны. Это следует из равенства прямоугольных треугольников $ABC$ и $BAD$ (по катету и гипотенузе) либо из формулы длины диагонали $d = \sqrt{a^2 + b^2}$, где $a$ и $b$ — стороны прямоугольника: обе диагонали вычисляются по одной и той же формуле.

Таким образом, для параллелограмма равенство диагоналей является необходимым и достаточным условием быть прямоугольником.

¶Место среди критериев

Свойство входит в ряд признаков, отличающих частные виды параллелограммов от общего случая:

Все перечисленные условия являются одновременно необходимыми и достаточными: прямоугольник всегда имеет равные диагонали, ромб — перпендикулярные, квадрат — равные и перпендикулярные.

¶Обобщения

Равенство диагоналей характеризует не только параллелограммы. Для произвольного четырёхугольника равенство диагоналей равносильно тому, что он является ортоидальным (вписываемым в окружность с центром в точке пересечения диагоналей), однако без дополнительных условий (параллельности сторон) прямоугольником он не становится: равные диагонали есть, например, у равнобедренной трапеции и у креста, образованного двумя равными отрезками.

Для трапеции равенство диагоналей равносильно равнобедренности. Для четырёхугольника, вписанного в окружность, равенство диагоналей равносильно тому, что противоположные стороны попарно равны или что он является прямоугольником либо изосцелес-трапецией.

¶Применение

Свойство используется при решении задач на построение и доказательство, а также в практических расчётах: равенство диагоналей прямоугольной рамы, дверного полотна, экрана или листа материала служит бытовым способом проверки прямоугольности. Если измерить обе диагонали четырёхугольной рамы и убедиться в их равенстве (при параллельности противоположных сторон), конструкция гарантированно прямоугольна.

¶Источники

• Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия: учебник для 7—9 классов. — М.: Просвещение.
• Погорелов А. В. Геометрия: учебник для 7—11 классов. — М.: Просвещение.
• Рабинович Я. С. Задачи по геометрии. — М.: Наука.