Разность координат¶

Разность координат — величина, получаемая вычитанием одной координаты точки из другой координаты той же или другой точки в выбранной системе координат. В одномерном случае разность координат двух точек на прямой определяется как $x_2 - x_1$; в двумерном и трёхмерном пространстве разность координат рассматривается покомпонентно: $\Delta x = x_2 - x_1$, $\Delta y = y_2 - y_1$, $\Delta z = z_2 - z_1$. Понятие является основой для определения вектора смещения, расстояния между точками, координат вектора и ряда производных величин в математике, физике и технике.

¶Определение и обозначения

Пусть в выбранной системе координат точка $A$ имеет координаты $(x_1, y_1, z_1)$, а точка $B$ — $(x_2, y_2, z_2)$. Разностью координат называют компоненты вектора $\overrightarrow{AB}$:

$$\Delta x = x_2 - x_1,\quad \Delta y = y_2 - y_1,\quad \Delta z = z_2 - z_1.$$

Вектор $\overrightarrow{AB} = (\Delta x, \Delta y, \Delta z)$ называют вектором смещения (или координатным вектором отрезка $AB$). Разность координат является ориентированной величиной: при смене порядка вычитания знак меняется на противоположный ($x_1 - x_2 = -\Delta x$). В одномерном случае разность координат двух точек на числовой прямой однозначно задаёт длину и направление отрезка между ними.

¶Связь с другими понятиями

¶Расстояние между точками

Модуль вектора смещения, вычисленный по теореме Пифагора, даёт расстояние между точками:

$$d = |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2}.$$

В двумерном случае формула принимает вид $d = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$. Таким образом, разность координат является компонентой, из которой через квадратичную формулу получается евклидово расстояние.

¶Направляющие косинусы

Отношение разности координат к длине отрезка определяет направляющие косинусы:

$$\cos\alpha = \frac{\Delta x}{d},\quad \cos\beta = \frac{\Delta y}{d},\quad \cos\gamma = \frac{\Delta z}{d},$$

где $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ — углы между вектором и осями координат. Используются при переходе между системами координат и в аналитической геометрии.

¶Угол между векторами

Косинус угла между двумя векторами выражается через скалярное произведение их компонент, то есть через разности координат соответствующих точек:

$$\cos\varphi = \frac{\Delta x_1 \Delta x_2 + \Delta y_1 \Delta y_2 + \Delta z_1 \Delta z_2}{d_1 d_2}.$$

¶Разность координат в физике

В физике разность координат используется при описании перемещений, траекторий и относительных положений тел.

• Перемещение. Перемещение материальной точки за интервал времени — это вектор, компоненты которого равны разности координат в конечном и начальном положениях: $\Delta \vec{r} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1$.
• Средняя скорость. Средняя скорость определяется как отношение перемещения к промежутку времени; её компоненты выражаются через разности координат: $\bar{v}_x = \Delta x / \Delta t$.
• Ускорение. Аналогично, среднее ускорение через разности скоростей, которые сами являются разностями координат за последовательные интервалы времени.
• Градиенты и производные. В математической физике разность функции в двух точках при бесконечно малом сдвиге переходит в дифференциал и производную, лежащие в основе уравнений движения, уравнения теплопроводности, уравнения Шрёдингера и других.

¶Разность координат в геодезии и навигации

В геодезии разность координат двух пунктов (в географической или прямоугольной системе) называется разностью абсцисс и ординат и используется при вычислении дирекционных углов и расстояний между пунктами. При переходе от геодезических координат (широта, долгота, высота) к плановым прямоугольным координатам разности координат выступают как элементы приближённых формул.

В навигации разность координат определяет вектор смещения судна или воздушного судна относительно заданного пункта, что лежит в основе расчёта курса и дальности до цели. В спутниковых навигационных системах (ГЛОНАСС, GPS) разность измеренных и вычисленных координат называется невязкой и используется в алгоритмах позиционирования.

¶Применение в информатике и графике

В компьютерной графике разность координат применяется при трансформациях объектов: сдвиг, масштабирование и поворот реализуются через арифметические операции над координатами вершин. В машинном обучении разность координат используется как признак (feature) в задачах классификации и регрессии, например при определении расстояний между объектами в методах k-ближайших соседей.

¶Интересные факты

• В школьном курсе геометрии разность координат впервые встречается при введении координатной прямой и служит основой для определения длины отрезка и координат середины отрезка: $x_{\text{сер}} = (x_1 + x_2)/2$.
• Понятие разности координат лежит в основе определения производной функции одной переменной как предела отношения приращения аргумента к приращению функции.

¶Источники

• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа.
• Иродов И. Е. Задачи по общей физике.
• Александров П. С., Лаврентьев М. А. Лекции по аналитической геометрии.
• Гольдберг В. В., Каган В. Ф. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.
• Савельев И. В. Курс общей физики.