Скалярное произведение векторов¶
Скалярное произведение векторов — операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр (число), а не вектор. Один из основных видов произведения векторов, широко применяемый в геометрии, физике и линейной алгебре. Обозначается как a · b или (a, b). Результат операции зависит от величин обоих векторов и угла между ними.
¶Определение
Для двух векторов a и b в евклидовом пространстве скалярное произведение определяется формулой:
a · b = |a| · |b| · cos α
где |a| и |b| — длины (модули) векторов, а α — угол между ними (0° ≤ α ≤ 180°).
Если векторы ортогональны (α = 90°), то cos α = 0, и скалярное произведение равно нулю. Если векторы сонаправлены (α = 0°), произведение равно произведению модулей. Если противоположно направлены (α = 180°), произведение равно минусу произведения модулей.
¶Способы вычисления
¶Через модули и угол
Наиболее наглядный способ — по формуле с косинусом угла между векторами. Подходит, когда известны длины векторов и угол между ними.
¶Через координаты
Если векторы заданы координатами a = (a₁, a₂, a₃) и b = (b₁, b₂, b₃), то:
a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃
Это самый распространённый способ вычисления на практике. Для двумерного случая формула упрощается: a · b = a₁b₁ + a₂b₂.
¶Через квадраты векторов
Из определения через косинус следует соотношение:
|a − b|² = |a|² + |b|² − 2(a · b)
Отсюда можно выразить скалярное произведение, если известны длины векторов и длина разности:
a · b = (|a|² + |b|² − |a − b|²) / 2
Аналогично для суммы: a · b = (|a + b|² − |a|² − |b|²) / 2.
¶Свойства
Скалярное произведение обладает рядом важных свойств:
- Коммутативность: a · b = b · a
- Дистрибутивность относительно сложения: a · (b + c) = a · b + a · c
- Однородность: (λa) · b = λ(a · b), где λ — любое число
- Положительная определённость: a · a = |a|² ≥ 0, причём равенство достигается только при a = 0
Следует отметить, что скалярное произведение не ассоциативно в обычном смысле: выражение (a · b) · c бессмысленно, так как результат a · b — скаляр, а не вектор.
¶Геометрический смысл
Скалярное произведение тесно связано с проекцией одного вектора на направление другого. Величина |b| · cos α — это длина проекции вектора b на направление вектора a. Таким образом, a · b = |a| · (проекция b на a).
Это свойство используется при вычислении работы силы в физике: работа равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.
¶Примеры вычислений
Пример 1. Даны a = (3, 4) и b = (1, 2). Тогда a · b = 3·1 + 4·2 = 3 + 8 = 11.
Пример 2. Векторы a = (1, 0) и b = (0, 1) ортогональны. Проверка: a · b = 1·0 + 0·1 = 0.
Пример 3. Известно |a| = 5, |b| = 3, угол между ними 60°. Тогда a · b = 5 · 3 · cos 60° = 15 · 0,5 = 7,5.
¶Применение
Скалярное произведение применяется в различных областях:
- Физика: работа силы, мощность, кинетическая энергия, закон косинусов для векторов
- Компьютерная графика: определение угла между нормалями поверхностей, освещение (модель Ламберта)
- Машинное обучение: подсчёт косинусного сходства между векторами признаков
- Геометрия: проверка ортогональности векторов, нахождение углов между прямыми
¶Связь с другими операциями
Скалярное произведение является частным случаем тензорного произведения векторов и связано с векторным произведением: для трёхмерного пространства выполняется тождество Лагранжа:
|a × b|² + (a · b)² = |a|² · |b|²
Это соотношение позволяет перейти от одного вида произведения к другому.
¶Историческая справка
Понятие скалярного произведения было введено в XIX веке в работах по векторному анализу. Термин «скалярное произведение» закрепился благодаря работам Джозефа Гиббса и Оливера Хевисайда, разработавших современную векторную нотацию в 1880-х годах. В русскоязычной литературе термин получил распространение в трудах по аналитической геометрии и теоретической механике.
¶Источники
- Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа
- Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра
- Феодосьев В. И. Сопротивление материалов
- Кочин Н. Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления