Сложение векторов в математике¶

Сумма векторов — это результат операции сложения двух или более векторов, в результате которой получается новый вектор. Сложение является одной из базовых линейных операций над векторами и определяется в векторной алгебре, аналитической геометрии и линейной алгебре. Геометрически сумма двух векторов соответствует замыкающей стороне векторного многоугольника, построенного на слагаемых, а алгебраически вычисляется покоординатно.

¶Определение

Вектором называют направленный отрезок, характеризующийся длиной (модулем) и направлением. Суммой векторов a и b называется такой вектор c = a + b, который получается при последовательном откладывании: от конца вектора a откладывается вектор b, начало a соединяется с концом b и направление берётся от начала первого к концу второго. Это правило известно как правило треугольника.

Операция сложения векторов подчиняется законам:

• переместительный (коммутативность): a + b = b + a;
• сочетательный (ассоциативность): (a + b) + c = a + (b + c);
• существует нулевой вектор 0, для которого a + 0 = a;
• для каждого вектора a существует противоположный −a, причём a + (−a) = 0.

Множество векторов с операциями сложения и умножения на число образует векторное пространство.

¶Геометрические правила сложения

¶Правило треугольника

Векторы откладываются последовательно: начало второго совмещается с концом первого. Сумма направлена из начала первого вектора в конец последнего. Правило обобщается на любое число слагаемых и тогда называется правилом многоугольника.

¶Правило параллелограмма

Если векторы a и b отложены из общей точки, то их сумма есть диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах. Правило удобно при сложении двух неколлинеарных векторов и напрямую связано с законом сложения сил в механике.

¶Правило параллелепипеда

Для трёх некомпланарных векторов, отложенных из одной точки, сумма является диагональю параллелепипеда, построенного на этих векторах.

¶Координатное представление

В прямоугольной декартовой системе координат вектор задаётся своими проекциями. Если a = (aₓ, a_y, a_z) и b = (bₓ, b_y, b_z), то

a + b = (aₓ + bₓ, a_y + b_y, a_z + b_z).

На плоскости соответственно складываются две координаты. Модуль суммы вычисляется по теореме косинусов:

|a + b| = √(a² + b² + 2ab·cos φ),

где φ — угол между векторами. Отсюда следует неравенство треугольника: |a + b| ≤ |a| + |b|, причём равенство достигается только для сонаправленных векторов.

¶Свойства и частные случаи

• Если векторы сонаправлены, модуль суммы равен сумме модулей.
• Если векторы противоположно направлены, модуль суммы равен разности модулей, а направление совпадает с направлением большего по длине вектора.
• Для ортогональных векторов модуль суммы вычисляется по теореме Пифагора: |a + b| = √(a² + b²).
• Сложение коллинеарных векторов сводится к сложению их проекций на общую прямую.
• В физике суммой векторов описывают равнодействующую сил, суммарную скорость при сложных движениях, сложение перемещений.

¶Применение

Сложение векторов лежит в основе аналитической геометрии, теоретической механики, физики, навигации, компьютерной графики и инженерных расчётов.

• Механика. Равнодействующая нескольких сил находится как векторная сумма слагаемых сил.
• Кинематика. Скорость тела в сложном движении равна сумме относительной и переносной скоростей (правило сложения скоростей Галилея).
• Электротехника. Сложение векторов применяется при расчёте цепей переменного тока методом векторных диаграмм.
• Навигация и геодезия. Суммирование векторов перемещений и скоростей используется при прокладке курса.
• Программирование. Операция реализована во всех библиотеках линейной алгебры и графических движках.

¶Сложение в многомерных и абстрактных пространствах

Понятие суммы векторов обобщается на n-мерные пространства, где векторы складываются покоординатно. В функциональном анализе векторами являются функции, а их суммой — поточечная сумма функций. В линейной алгебре операция сложения вместе с умножением на скаляр задаёт структуру векторного пространства, а множество всех линейных комбинаций заданной системы векторов образует их линейную оболочку.

¶Историческая справка

Правило параллелограмма для сложения сил было известно ещё в античной механике и сформулировано в работах нидерландского учёного Симона Стевина в XVI веке. Векторное исчисление как самостоятельная дисциплина оформилось в XIX веке в трудах Уильяма Гамильтона, Германа Грассмана и Джозайи Гиббса. В России значительный вклад в развитие векторного анализа и его приложений внесли математики и механики XIX–XX веков, в том числе в курсах аналитической геометрии и теоретической механики.

¶Смежные операции

Наряду со сложением над векторами определены вычитание (как сложение с противоположным вектором), умножение на скаляр, скалярное, векторное и смешанное произведения. Вычитание векторов геометрически строится по правилу, при котором разность направлена от конца вычитаемого к концу уменьшаемого.

Источники: учебники по аналитической геометрии и линейной алгебре, курсы общей физики и теоретической механики, справочные математические издания.