Смешанные стратегии¶

Смешанные стратегии — это понятие теории игр, обозначающее такой способ выбора действий игроком, при котором он не фиксирует единственный вариант поведения, а выбирает одну из нескольких чистых стратегий случайным образом с определённой вероятностью. В отличие от чистой стратегии, где игрок всегда принимает одно и то же решение в данной ситуации, смешанная стратегия предполагает рандомизацию выбора, что позволяет сделать поведение игрока непредсказуемым для оппонентов и добиться равновесия в играх, где чистые стратегии не дают устойчивого исхода.

¶Определение и формальное представление

В теории игр под смешанной стратегией понимается вероятностное распределение на множестве чистых стратегий игрока. Если у игрока имеется конечный набор чистых стратегий \( S = \{s_1, s_2, \dots, s_n\} \), то смешанная стратегия \( \sigma \) задаётся вектором вероятностей \( (p_1, p_2, \dots, p_n) \), где \( p_i \ge 0 \) и \( \sum_{i=1}^n p_i = 1 \). Каждая вероятность \( p_i \) соответствует доле случаев, в которых игрок выбирает чистую стратегию \( s_i \). Чистая стратегия является частным случаем смешанной, когда одна из вероятностей равна 1, а все остальные — 0.

Смешанные стратегии могут быть определены как для игр с конечным числом ходов (матричные игры), так и для игр с непрерывными множествами стратегий. В последнем случае распределение вероятностей задаётся функцией плотности или функцией распределения.

¶История возникновения

Идея смешанных стратегий была впервые формально введена в 1928 году Джоном фон Нейманом в его работе «К теории стратегических игр». Фон Нейман доказал, что в любой конечной антагонистической игре с нулевой суммой существует равновесие в смешанных стратегиях — так называемая теорема о минимаксе. Этот результат стал одним из краеугольных камней теории игр. Позднее, в 1944 году, фон Нейман совместно с Оскаром Моргенштерном опубликовал монографию «Теория игр и экономическое поведение», где смешанные стратегии были подробно разобраны в контексте экономических моделей.

В 1950-х годах Джон Нэш обобщил идею равновесия на неантагонистические игры, доказав, что в любой конечной игре с любым числом игроков существует хотя бы одно равновесие Нэша в смешанных стратегиях. Это открытие принесло Нэшу Нобелевскую премию по экономике (1994) и легло в основу современной теории игр.

¶Равновесие Нэша в смешанных стратегиях

Равновесие Нэша — это ситуация, в которой ни один игрок не может увеличить свой выигрыш, изменив свою стратегию в одностороннем порядке, при условии, что стратегии остальных игроков фиксированы. В играх, где чистых равновесий Нэша не существует, равновесие может быть достигнуто за счёт смешанных стратегий.

Классический пример — игра «Камень, ножницы, бумага». В этой игре с нулевой суммой каждая чистая стратегия (камень, ножницы или бумага) имеет ровно один выигрышный и один проигрышный исход. Если оба игрока выбирают чистую стратегию, то один из них обязательно проигрывает. Единственное равновесие Нэша достигается, когда каждый игрок выбирает каждую из трёх стратегий с вероятностью 1/3. В этом случае ожидаемый выигрыш каждого игрока равен нулю, и ни один из них не может улучшить свой результат, изменив распределение вероятностей.

¶Принцип безразличия

Ключевое свойство равновесия в смешанных стратегиях — принцип безразличия. В равновесии игрок выбирает такое вероятностное распределение, при котором его оппоненту безразлично, какую из чистых стратегий, входящих в носитель смешанной стратегии, выбрать. Другими словами, ожидаемые выигрыши от каждой чистой стратегии, используемой с положительной вероятностью, должны быть равны. Если бы какая-то стратегия давала строго больший выигрыш, игрок бы переключился на неё, и равновесие нарушилось бы.

Этот принцип позволяет находить равновесные смешанные стратегии, решая систему линейных уравнений, где неизвестными являются вероятности, а уравнения — условия равенства ожидаемых выигрышей.

¶Примеры применения

¶Спортивные соревнования

В футболе пенальти часто моделируется как игра с нулевой суммой: вратарь выбирает направление прыжка (влево, вправо, центр), а бьющий — направление удара. Если вратарь всегда прыгает в одну сторону, бьющий легко забивает в другую. Равновесие в смешанных стратегиях требует, чтобы вратарь рандомизировал направление прыжка с определёнными вероятностями, а бьющий — направление удара. Исследования реальных матчей показывают, что профессиональные игроки часто действуют близко к равновесным смешанным стратегиям.

¶Военное дело

В военной теории смешанные стратегии используются для планирования операций, когда противник может предсказать действия. Например, выбор маршрута патрулирования или времени атаки рандомизируется, чтобы не дать врагу возможности подготовиться. В холодной войне стратегия ядерного сдерживания включала элементы случайности: угроза ответного удара должна была быть непредсказуемой, чтобы удержать противника от первого удара.

¶Экономика и аукционы

В теории аукционов смешанные стратегии возникают, когда участники не знают точных оценок друг друга. Например, в аукционе первой цены с закрытыми заявками равновесие часто достигается в смешанных стратегиях, где каждый участник выбирает ставку случайным образом из некоторого распределения. Это позволяет избежать ценовых войн и обеспечивает эффективное распределение ресурсов.

¶Биология и эволюция

В эволюционной теории игр смешанные стратегии интерпретируются как частоты поведения в популяции. Например, в модели «ястреб — голубь» особи могут с определённой вероятностью вести себя агрессивно (ястреб) или мирно (голубь). Эволюционно устойчивая стратегия может быть смешанной, когда доля агрессивных особей в популяции стабилизируется на некотором уровне.

¶Критика и ограничения

Концепция смешанных стратегий вызывает ряд теоретических и практических возражений.

• Психологическая реалистичность: В реальной жизни люди редко сознательно рандомизируют свои решения. Чаще они следуют правилам, интуиции или привычкам. Однако в ситуациях, где важна непредсказуемость (например, в покере или военных операциях), рандомизация может быть осознанной.
• Проблема интерпретации: Смешанная стратегия может пониматься как внутреннее состояние игрока (он бросает монетку) или как внешнее наблюдение (его поведение кажется случайным, хотя на самом деле он следует сложному детерминированному правилу). Второй подход более распространён в эмпирических исследованиях.
• Игры с большим числом стратегий: Нахождение равновесия в смешанных стратегиях для игр с десятками и сотнями чистых стратегий может быть вычислительно сложным. Для таких задач используются численные методы, например, алгоритмы линейного программирования.
• Неединственность: В некоторых играх существует множество равновесий в смешанных стратегиях, что затрудняет предсказание поведения игроков. Для выбора между ними применяются дополнительные критерии, такие как устойчивость к малым возмущениям или эволюционная стабильность.

¶Связь с другими разделами теории игр

Смешанные стратегии тесно связаны с понятием коррелированного равновесия, предложенного Робертом Ауманном. В коррелированном равновесии игроки могут координировать свои действия с помощью внешнего сигнала (например, общего случайного числа), что позволяет достичь более высоких выигрышей, чем в равновесии Нэша в смешанных стратегиях. Кроме того, смешанные стратегии являются основой для покерных моделей и теории аукционов, где рандомизация ставок или действий является необходимым элементом оптимальной стратегии.

¶Интересные факты

• В 2014 году группа исследователей из Массачусетского технологического института (MIT) показала, что в игре «Камень, ножницы, бумага» люди, играющие против компьютера, склонны к определённым паттернам, которые можно использовать для предсказания их ходов. Это подтверждает, что в реальности люди редко достигают идеального равновесия в смешанных стратегиях.
• В некоторых видах спорта, таких как теннис или бокс, тренеры используют статистические модели для определения оптимальных смешанных стратегий подачи или атаки, основываясь на данных о предыдущих матчах соперника.
• В теории игр существует понятие «смешанная стратегия с нулевой вероятностью» — это стратегия, которая никогда не выбирается, но её существование влияет на равновесие. Например, в игре «дилемма заключённого» чистая стратегия «предать» доминирует над «сотрудничать», и смешанные стратегии не улучшают исход.

¶Источники

• Фон Нейман, Дж., Моргенштерн, О. «Теория игр и экономическое поведение». — М.: Наука, 1970.
• Нэш, Дж. «Некооперативные игры» // Annals of Mathematics, 1951, т. 54, № 2, с. 286–295.
• Ауманн, Р. «Коррелированное равновесие как выражение байесовской рациональности» // Econometrica, 1987, т. 55, № 1, с. 1–18.
• Гиббонс, Р. «Теория игр для экономистов». — М.: Издательство Института Гайдара, 2017.
• Каммингс, Д. «Смешанные стратегии в спорте: теория и практика» // Journal of Sports Economics, 2010, т. 11, № 4, с. 345–367.