Среднее пропорциональное¶

Среднее пропорциональное (также среднее геометрическое) — это число, равное корню \(n\)-й степени из произведения \(n\) положительных чисел. В простейшем случае двух чисел \(a\) и \(b\) среднее пропорциональное определяется как квадратный корень из их произведения: \(\sqrt{a \cdot b}\). Термин «среднее пропорциональное» исторически связан с геометрией и теорией пропорций, где оно обозначает число, которое находится в том же отношении к одному из данных чисел, что и второе число к нему самому (то есть \(a : x = x : b\)).

¶Определение и математическая формулировка

Для двух положительных чисел \(a\) и \(b\) среднее пропорциональное \(x\) удовлетворяет пропорции: \[ \frac{a}{x} = \frac{x}{b}. \] Решая это уравнение, получаем \(x^2 = a \cdot b\), откуда \(x = \sqrt{a \cdot b}\) (берётся положительное значение, так как в классической геометрии и арифметике рассматриваются положительные величины). В общем случае для \(n\) положительных чисел \(a_1, a_2, \dots, a_n\) среднее геометрическое определяется как: \[ G = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot \dots \cdot a_n}. \]

Среднее пропорциональное является одним из трёх классических средних наряду со средним арифметическим и средним гармоническим. Для любых положительных чисел выполняется неравенство: среднее арифметическое \(\geq\) среднее геометрическое \(\geq\) среднее гармоническое, причём равенство достигается только при равенстве всех чисел.

¶История

Понятие среднего пропорционального восходит к античной математике. Древнегреческие математики, в частности пифагорейцы, изучали различные виды средних. В «Началах» Евклида (около 300 г. до н. э.) среднее пропорциональное используется для построения отрезка, равного среднему геометрическому двух данных отрезков. В книге VI «Начал» доказывается, что высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, является средним пропорциональным между отрезками, на которые она делит гипотенузу. Это свойство лежит в основе многих геометрических построений и доказательств.

В эпоху Возрождения и в Новое время среднее геометрическое применялось в финансовых расчётах, астрономии и картографии. В XIX веке с развитием статистики и теории вероятностей оно стало использоваться для анализа данных, особенно при работе с относительными величинами и темпами роста.

¶Свойства

¶Основные свойства

• Монотонность: если все числа увеличить в одинаковое число раз, среднее геометрическое увеличится во столько же раз.
• Инвариантность к перестановкам: среднее пропорциональное не зависит от порядка чисел.
• Неравенство Коши: для любых неотрицательных чисел среднее арифметическое не меньше среднего геометрического. Для двух чисел это неравенство имеет вид \(\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}\), что равносильно \((a-b)^2 \geq 0\).
• Логарифмическое свойство: логарифм среднего геометрического равен среднему арифметическому логарифмов чисел: \(\ln G = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \ln a_i\).

¶Связь с другими средними

Среднее геометрическое является частным случаем степенного среднего при показателе степени, стремящемся к нулю. Оно также связано со средним гармоническим \(H\) и средним арифметическим \(A\) через соотношение: \(G^2 = A \cdot H\) для двух чисел.

¶Применение

¶Геометрия

В геометрии среднее пропорциональное часто встречается в теоремах о подобии треугольников. Например, в прямоугольном треугольнике:

• Высота, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками гипотенузы.
• Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

Эти свойства используются при решении задач на построение и доказательство теорем.

¶Статистика и анализ данных

Среднее геометрическое применяется для усреднения относительных величин, таких как темпы роста, индексы цен, процентные ставки. Например, среднегодовой темп роста (CAGR) вычисляется как среднее геометрическое годовых коэффициентов роста. В отличие от среднего арифметического, среднее геометрическое менее чувствительно к выбросам и даёт более корректную оценку для мультипликативных процессов.

¶Финансы

В финансовой математике среднее геометрическое используется для расчёта средней доходности инвестиций за несколько периодов. Если доходность за каждый год выражена в виде множителя (например, 1,10 для 10% прироста), то средняя годовая доходность равна корню \(n\)-й степени из произведения этих множителей минус единица.

¶Естественные науки

В физике и химии среднее геометрическое применяется при усреднении величин, подчиняющихся степенным законам, например, при расчёте средней скорости молекул в газе (средняя квадратичная скорость — частный случай степенного среднего). В геофизике и экологии оно используется для анализа концентраций загрязнителей, которые часто распределены логнормально.

¶Техника и инженерия

При расчёте коэффициентов передачи в многокаскадных усилителях, где общий коэффициент усиления равен произведению коэффициентов отдельных каскадов, среднее геометрическое позволяет оценить средний вклад каждого каскада. В акустике среднее геометрическое используется для определения средней частоты октавной полосы.

¶Примеры

1. Два числа: для чисел 4 и 9 среднее пропорциональное равно \(\sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{36} = 6\). Действительно, \(4 : 6 = 6 : 9\).
2. Три числа: для чисел 2, 8 и 32 среднее геометрическое равно \(\sqrt[3]{2 \cdot 8 \cdot 32} = \sqrt[3]{512} = 8\).
3. Финансовый пример: если инвестиции выросли на 10% в первый год, на 20% во второй и на 5% в третий, то множители роста: 1,10; 1,20; 1,05. Среднее геометрическое: \(\sqrt[3]{1,10 \cdot 1,20 \cdot 1,05} \approx 1,115\), то есть средняя годовая доходность около 11,5%.

¶Критика и ограничения

Среднее геометрическое определено только для положительных чисел. Если хотя бы одно число равно нулю, среднее геометрическое равно нулю, что может быть содержательно неинформативно. Для отрицательных чисел среднее геометрическое в действительных числах не определено, хотя в комплексной области его можно вычислить, но интерпретация теряется. Кроме того, среднее геометрическое чувствительно к масштабу: если числа различаются на порядки, оно может быть значительно меньше среднего арифметического, что иногда приводит к недооценке среднего значения в распределениях с большими выбросами.

¶См. также

• Среднее арифметическое
• Среднее гармоническое
• Среднее квадратическое
• Неравенство Коши (неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим)
• Пропорция

¶Источники

• Евклид. «Начала». Книга VI.
• Корн Г., Корн Т. «Справочник по математике для научных работников и инженеров». — М.: Наука, 1974.
• Выгодский М. Я. «Справочник по элементарной математике». — М.: Наука, 1978.
• Кремер Н. Ш. «Теория вероятностей и математическая статистика». — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004.