Теорема о сумме площадей треугольников в параллелограмме¶

Теорема о сумме площадей треугольников в параллелограмме — геометрическое утверждение, согласно которому для произвольной точки, выбранной внутри параллелограмма, сумма площадей четырёх треугольников, образованных этой точкой и сторонами параллелограмма, равна половине площади самого параллелограмма. Теорема входит в курс школьной геометрии и является типичным примером задачи на доказательство, используемой при изучении свойств четырёхугольников и площадей фигур.

¶Формулировка

Пусть $ABCD$ — параллелограмм, $E$ — произвольная точка внутри него. Пусть $S$ — площадь параллелограмма $ABCD$. Тогда сумма площадей четырёх треугольников $\triangle ABE$, $\triangle BCE$, $\triangle CDE$, $\triangle DAE$ равна $\frac{S}{2}$:

$$S_{\triangle ABE} + S_{\triangle BCE} + S_{\triangle CDE} + S_{\triangle DAE} = \frac{S}{2}.$$

¶Доказательство

Доказательство опирается на формулу площади треугольника через основание и высоту и на свойства параллелограмма: противоположные стороны параллельны и равны, расстояние между параллельными сторонами (высота параллелограмма) есть величина постоянная.

Обозначим через $h_1$ высоту параллелограмма, отнесённую к стороне $AB$ (то есть расстояние между прямыми $AB$ и $CD$), а через $h_2$ — высоту, отнесённую к стороне $BC$ (расстояние между прямыми $BC$ и $AD$). Пусть $a = AB = CD$, $b = BC = AD$. Тогда площадь параллелограмма выражается двумя равными формулами:

$$S = a \cdot h_1 = b \cdot h_2.$$

Рассмотрим треугольники $\triangle ABE$ и $\triangle CDE$. Первый имеет основание $AB = a$ и высоту, равную расстоянию от точки $E$ до прямой $AB$; обозначим его $h_E^{(1)}$. Второй имеет основание $CD = a$ и высоту, равную расстоянию от $E$ до прямой $CD$; обозначим её $h_E^{(2)}$. Так как прямые $AB$ и $CD$ параллельны, сумма расстояний от любой точки между ними до этих прямых равна расстоянию между прямыми:

$$h_E^{(1)} + h_E^{(2)} = h_1.$$

Следовательно,

$$S_{\triangle ABE} + S_{\triangle CDE} = \frac{a \cdot h_E^{(1)}}{2} + \frac{a \cdot h_E^{(2)}}{2} = \frac{a}{2}\left(h_E^{(1)} + h_E^{(2)}\right) = \frac{a \cdot h_1}{2} = \frac{S}{2}.$$

Аналогично для треугольников $\triangle BCE$ и $\triangle DAE$: у них основания $BC = AD = b$, а сумма расстояний от $E$ до параллельных прямых $BC$ и $AD$ равна $h_2$. Поэтому

$$S_{\triangle BCE} + S_{\triangle DAE} = \frac{b \cdot h_E^{(3)}}{2} + \frac{b \cdot h_E^{(4)}}{2} = \frac{b}{2}\left(h_E^{(3)} + h_E^{(4)}\right) = \frac{b \cdot h_2}{2} = \frac{S}{2}.$$

Складывая оба равенства, получаем

$$S_{\triangle ABE} + S_{\triangle BCE} + S_{\triangle CDE} + S_{\triangle DAE} = \frac{S}{2} + \frac{S}{2} = S.$$

Однако при таком сложении каждая из четырёх площадей посчитана ровно один раз, и сумма четырёх треугольников покрывает весь параллелограмм без пересечений (треугольники $\triangle ABE$, $\triangle BCE$, $\triangle CDE$, $\triangle DAE$ имеют общие только рёбра и вершины, а их объединение — весь параллелограмм). Поэтому корректная формулировка теоремы состоит в том, что сумма площадей четырёх треугольников равна площади параллелограмма, а сумма площадей двух «противоположных» треугольников — половине площади параллелограмма.

¶Уточнение формулировки

Наиболее распространённая школьная формулировка задачи звучит так: «Внутри параллелограмма $ABCD$ выбрали произвольную точку $E$. Докажите, что сумма площадей треугольников $ABE$ и $CDE$ равна половине площади параллелограмма». Именно это утверждение и доказано выше: $S_{\triangle ABE} + S_{\triangle CDE} = \frac{S}{2}$. Вторая половина параллелограмма при этом приходится на пару треугольников $BCE$ и $DAE$.

¶Замечания и обобщения

• Точка $E$ может лежать где угодно — внутри параллелограмма, на его границе или даже вне его; доказательство сохраняет силу, если принять знаковую площадь или корректно определить расстояния до прямых. Для точки вне параллелограмма сумма площадей двух треугольников с параллельными основаниями уже не равна $\frac{S}{2}$, а разность площадей двух треугольников с общим основанием и вершинами на параллельных прямых равна нулю.
• Теорема — частный случай более общего факта о том, что сумма площадей треугольников с вершинами на одной параллели и общим основанием не зависит от положения вершины вдоль этой параллели.
• Результат обобщается на произвольный параллелограмм, в том числе на прямоугольник и ромб, и не зависит от выбора системы координат.

¶Применение

Теорема используется при решении задач на вычисление площадей, при доказательстве свойств четырёхугольников, а также как вспомогательный результат при выводе формул площади произвольного выпуклого четырёхугольника. В олимпиадной геометрии аналогичный приём — разложение фигуры на треугольники с общими основаниями и параллельными прямыми — применяется при работе с многогранниками и площадями сечений.

¶Источники

• Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных организаций.
• Погорелов А. В. Геометрия. Учебное пособие для общеобразовательных организаций.
• Рабинович И. М. Задачи по геометрии. Планиметрия.