Теорема Птолемея

Теорема Птолемея — это классическая теорема евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами и диагоналями вписанного четырёхугольника. Она гласит: для любого выпуклого четырёхугольника, вершины которого лежат на одной окружности (вписанного четырёхугольника), произведение длин его диагоналей равно сумме произведений длин его противоположных сторон.

Формулировка

Пусть \(ABCD\) — вписанный четырёхугольник, вершины которого расположены на окружности в указанном порядке. Тогда выполняется равенство:

\[ AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD \]

где \(AC\) и \(BD\) — диагонали, \(AB\), \(BC\), \(CD\) и \(DA\) — стороны четырёхугольника. Теорема верна для любого выпуклого вписанного четырёхугольника, включая прямоугольники, квадраты, равнобедренные трапеции и другие фигуры, вписанные в окружность.

История

Теорема названа в честь древнегреческого математика, астронома и географа Клавдия Птолемея (ок. 100 – ок. 170 н. э.), который жил в Александрии (Египет) в эпоху Римской империи. Птолемей изложил её в своём главном труде «Альмагест» (др.-греч. «Великое построение»), написанном около 150 года н. э. В этом сочинении, посвящённом математической астрономии, теорема использовалась для вычисления хорд углов — прообраза тригонометрических функций. Птолемей применил её для построения таблицы хорд, которая позволяла находить длины сторон правильных многоугольников, вписанных в окружность, и решать задачи сферической астрономии.

Хотя Птолемей не был первооткрывателем теоремы — её частные случаи были известны ещё в древнегреческой геометрии (например, в работах Гиппарха Никейского, II век до н. э.), — именно он впервые дал общее доказательство и систематически применил её в астрономических расчётах. Впоследствии теорема вошла в стандартный курс геометрии и получила широкое распространение в математике и её приложениях.

Доказательство

Существует несколько способов доказательства теоремы Птолемея. Наиболее распространённое — классическое геометрическое доказательство, основанное на подобии треугольников, которое привёл сам Птолемей.

Классическое доказательство (по Птолемею)

Рассмотрим вписанный четырёхугольник \(ABCD\) с диагоналями \(AC\) и \(BD\). На диагонали \(AC\) построим точку \(E\) такую, что \(\angle ABE = \angle DBC\). Поскольку четырёхугольник вписанный, \(\angle BAE = \angle BDC\) (как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу \(BC\)). Следовательно, треугольники \(ABE\) и \(DBC\) подобны по двум углам. Из подобия получаем:

\[ \frac{AB}{BD} = \frac{AE}{CD} \quad \Rightarrow \quad AB \cdot CD = BD \cdot AE. \]

Аналогично, из подобия треугольников \(EBC\) и \(ABD\) (так как \(\angle ECB = \angle ADB\) и \(\angle EBC = \angle ABD\)) получаем:

\[ \frac{BC}{BD} = \frac{EC}{AD} \quad \Rightarrow \quad BC \cdot AD = BD \cdot EC. \]

Складывая два равенства, имеем:

\[ AB \cdot CD + BC \cdot AD = BD \cdot (AE + EC) = BD \cdot AC. \]

Что и требовалось доказать.

Другие доказательства

Теорему Птолемея можно доказать также с помощью тригонометрии (используя теорему синусов для вписанных треугольников), комплексных чисел (применяя формулу для расстояния между точками на единичной окружности) или векторного анализа. В современной геометрии она часто выводится из инверсии или свойств гармонических четырёхугольников.

Следствия и частные случаи

Теорема Пифагора как частный случай

Если вписанный четырёхугольник является прямоугольником, то его диагонали равны, а противоположные стороны равны между собой. Подстановка в формулу Птолемея даёт:

\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \]

что является теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного двумя сторонами прямоугольника и его диагональю. Таким образом, теорема Птолемея обобщает теорему Пифагора на произвольные вписанные четырёхугольники.

Теорема о сумме квадратов сторон

Для вписанного четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями (например, для дельтоида, вписанного в окружность) из теоремы Птолемея можно вывести соотношение:

\[ AB^2 + CD^2 = BC^2 + AD^2. \]

Формула для длины хорды

Теорема Птолемея позволяет находить длину хорды угла, если известны хорды для суммы и разности углов. Пусть \(x\) и \(y\) — центральные углы, соответствующие хордам \(a\) и \(b\). Тогда хорда угла \(x+y\) выражается через \(a\) и \(b\) по формуле:

\[ c = \frac{a \cdot \sqrt{4R^2 - b^2} + b \cdot \sqrt{4R^2 - a^2}}{2R} \]

где \(R\) — радиус окружности. Эта формула лежит в основе таблицы хорд Птолемея.

Применение

В античной астрономии

В «Альмагесте» Птолемей использовал свою теорему для вычисления хорд углов от 0° до 180° с шагом 0,5°. На основе этих вычислений строились модели движения планет и Солнца, а также решались задачи сферической астрономии, такие как определение долготы дня или высоты светила над горизонтом. Теорема позволяла переходить от хорд суммы и разности углов к хордам самих углов, что было аналогом современных тригонометрических формул сложения.

В современной математике

Теорема Птолемея используется в задачах олимпиадной геометрии, при решении задач на вписанные четырёхугольники, а также в доказательствах других теорем (например, теоремы Фалеса, теоремы о бабочке). Она является частным случаем более общей теоремы Птолемея для четырёхугольников, вписанных в окружность, и её обобщения — теоремы Птолемея для многоугольников (теорема Кейси).

В тригонометрии

Теорема Птолемея эквивалентна формуле синуса суммы двух углов. Если обозначить \(\alpha = \angle BAD\), \(\beta = \angle CAD\), то из теоремы Птолемея для четырёхугольника \(ABCD\) (где \(A\) — вершина, а \(B, C, D\) — точки на окружности) можно вывести:

\[ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta. \]

Таким образом, теорема Птолемея является геометрическим прообразом тригонометрического тождества.

Обобщения

Теорема Кейси

Ирландский математик Джон Кейси (1820–1891) обобщил теорему Птолемея на случай четырёх окружностей, касающихся данной окружности. Если четыре окружности касаются данной окружности внутренним или внешним образом, то длины отрезков между точками касания удовлетворяют соотношению, аналогичному теореме Птолемея.