Тетраэдр — правильный многогранник¶

Тетраэдр — многогранник, ограниченный четырьмя треугольными гранями, то есть самый простой из выпуклых многогранников. Слово происходит от греческих τετράς («четыре») и ἕδρα («грань, основание»). Тетраэдр имеет 4 вершины, 4 грани и 6 рёбер; сумма углов всех его граней равна 720°. Тетраэдр — единственный многогранник, у которого число граней равно числу вершин.

¶Виды тетраэдров

¶Правильный тетраэдр

Правильный тетраэдр — один из пяти платоновых тел. Все его грани — равносторонние треугольники, все рёбра равны, а в каждой вершине сходятся по три грани. Правильный тетраэдр обладает наибольшим числом симметрий среди тетраэдров: его группа симметрии имеет порядок 24 (полная симметричная группа — 24 элемента, включая повороты и отражения). Он является единственным правильным многогранником, который не является самодополнительным: дополнение к нему — октаэдр.

¶Неправильные тетраэдры

Все остальные тетраэдры называются неправильными. Среди них выделяют:

• Равнобедренный тетраэдр — тетраэдр, у которого три рёбра, исходящие из одной вершины, равны между собой.
• Равноосновный тетраэдр — тетраэдр, у которого две пары равных рёбер, образующих две равные грани.
• Ортотетраэдр — тетраэдр, у которого все рёбра попарно равны попарно (три пары равных рёбер).
• Равносторонний тетраэдр — тетраэдр, у которого все рёбра равны (то есть правильный тетраэдр).

Также тетраэдры классифицируют по характеру проекций: тетраэдр может быть выпуклым или невыпуклым (с самопересечением).

¶Свойства правильного тетраэдра

Пусть ребро правильного тетраэдра равно $a$. Тогда:

• Высота тетраэдра: $h = a\sqrt{2/3} \approx 0.8165a$.
• Площадь поверхности: $S = a^2\sqrt{3} \approx 1.7321a^2$.
• Объём: $V = \frac{a^3}{6\sqrt{2}} = \frac{a^3\sqrt{2}}{12} \approx 0.1178a^3$.
• Радиус вписанной сферы: $r = \frac{a\sqrt{6}}{12} \approx 0.2041a$.
• Радиус описанной сферы: $R = \frac{a\sqrt{6}}{4} \approx 0.6124a$.
• Двугранный угол: $\arccos(1/3) \approx 70.53°$.

Радиус вписанной сферы втрое меньше радиуса описанной: $R = 3r$.

¶Тетраэдр в стереометрии

Тетраэдр является базовой фигурой стереометрии — на нём демонстрируют основные понятия: вершина, ребро, грань, двугранный угол, вписанная и описанная сферы. Любой выпуклый многогранник можно разбить на тетраэды (триангуляция), поэтому тетраэдр играет роль «кирпичика» в вычислительной геометрии и компьютерной графике.

Каждый тетраэдр можно вписать в шар и описать вокруг него шар. Тетраэдр — единственный многогранник, у которого центры вписанной и описанной сфер совпадают с центроидом (центром масс) при условии равенства рёбер.

¶Тетраэдр в природе и науке

¶Кристаллография и химия

Тетраэдрическая симметрия распространена в природе. Молекула метана (CH₄) имеет тетраэдрическую форму: атом углерода расположен в центре, а четыре атома водорода — в вершинах тетраэдра. Тетраэдрическую структуру имеют также ионы сульфата (SO₄²⁻), фосфата (PO₄³⁻), аммония (NH₄⁺) и многие другие. В кристаллографии тетраэдр — один из структурных элементов кристаллических решёток, например, в алмазе каждый атом углерода окружён четырьмя соседями в вершинах тетраэдра.

¶Кристаллографическая группа симметрии

Тетраэдрические группы симметрии обозначают $T_d$ (полная тетраэдрическая группа, порядок 24) и $T$ (хиральная тетраэдрическая группа, порядок 12). Они входят в список 32 кристаллографических классов симметрии.

¶Тетраэдр в истории и культуре

Платон в трактате «Тимей» связал тетраэдр с огнём, считая его символом этой стихии. В средневековой алхимии тетраэдр, как и другие платоновы тела, использовался как символический знак. В современной культуре тетраэдр встречается как элемент дизайна и архитектуры — например, пирамидообразные конструкции часто приближены к форме тетраэдра.

¶Тетраэдр в математике

Тетраэдр — выпуклый многогранник, поэтому к нему применимы формула Эйлера ($V - E + F = 2$) и теорема о сумме углов многогранника. Тетраэдр — единственное тело, у которого все грани — треугольники, поэтому он является минимальным многогранником: любой многогранник содержит не менее четырёх граней, и тетраэдр достигает этого минимума.

Тетраэдр также является частным случаем симплекса — многомерного аналога треугольника и тетраэдра. Тетраэдр — трёхмерный симплекс.

¶Источники

• Кузнецов В. А. «Геометрия» — М.: Просвещение.
• Погорелов А. В. «Стереометрия» — М.: Наука.
• Иванов М. И. «Математический энциклопедический словарь».
• Справочник по элементарной математике. Геометрия.