Умножение дробей¶
Умножение дробей — арифметическая операция, при которой произведение двух дробей получается умножением числителей и умножением знаменателей. Результат операции — дробь, числитель которой равен произведению исходных числителей, а знаменатель — произведению исходных знаменателей. Операция является основой школьного курса арифметики и алгебры и применяется при решении уравнений, вычислении площадей и объёмов, в физических формулах.
¶Общее правило
Пусть даны две дроби $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$, где $b \neq 0$ и $d \neq 0$. Тогда:
$$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$$
То есть дроби перемножаются по правилу: «числитель на числитель, знаменатель на знаменатель». Сокращение дробей на этом этапе не требуется — результат записывается в виде несокращённой дроби, которую при необходимости упрощают.
¶Примеры
- $\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 5} = \frac{8}{15}$
- $\frac{7}{9} \cdot \frac{3}{14} = \frac{21}{126} = \frac{1}{6}$ (после сокращения на 21)
- $\frac{5}{6} \cdot \frac{9}{10} = \frac{45}{60} = \frac{3}{4}$
¶Умножение дроби на натуральное число
Если вторым множителем выступает натуральное число $n$, дробь записывается с единичным знаменателем: $n = \frac{n}{1}$, и правило остаётся прежним:
$$\frac{a}{b} \cdot n = \frac{a \cdot n}{b}$$
Пример: $\frac{3}{7} \cdot 5 = \frac{15}{7} = 2\frac{1}{7}$.
¶Умножение смешанных чисел
Смешанное число перед умножением переводят в неправильную дробь: $2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}$. После этого применяется общее правило. Пример: $1\frac{1}{2} \cdot 2\frac{2}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{8}{3} = \frac{24}{6} = 4$.
¶Умножение десятичных дробей
При умножении конечных десятичных дробей можно воспользоваться общим правилом, предварительно записав числа в виде обыкновенных дробей, либо умножать их как целые числа, а затем поставить запятую. Количество знаков после запятой в результате равно сумме количеств знаков после запятой у сомножителей.
Пример: $0{,}25 \cdot 0{,}4 = 0{,}100 = 0{,}1$. Здесь у первого множителя два знака после запятой, у второго — один, итого три: $25 \cdot 4 = 100$, запятая ставится так, что получается $0{,}100$.
¶Умножение дробей с переменными
В алгебре то же правило распространяется на буквенные выражения: $\frac{x}{y} \cdot \frac{a}{b} = \frac{xa}{yb}$ при условии $y \neq 0$, $b \neq 0$. Перемножение числителей и знаменателей выполняется как обычная алгебраическая операция над моночленами и многочленами.
¶Сокращение при умножении
Упрощение результата часто удобнее выполнять до полного перемножения. Если числитель и знаменатель имеют общие множители, их можно сократить попарно: числитель одной дроби — с знаменателем другой.
Пример: $\frac{6}{35} \cdot \frac{14}{9}$. Числитель 6 и знаменатель 9 сокращаются на 3, числитель 14 и знаменатель 35 — на 7. Получается $\frac{2}{5} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{15}$.
¶Свойства операции
Умножение дробей обладает свойствами, характерными для умножения чисел:
- Коммутативность: $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{c}{d} \cdot \frac{a}{b}$.
- Ассоциативность: произведение трёх и более дробей не зависит от порядка группировки множителей.
- Дистрибутивность относительно сложения: $\frac{a}{b} \cdot \left(\frac{c}{d} + \frac{e}{f}\right) = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} + \frac{a}{b} \cdot \frac{e}{f}$.
- Единичный элемент: $\frac{a}{b} \cdot 1 = \frac{a}{b}$.
- Обратная дробь: $\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = 1$ (при $a \neq 0$, $b \neq 0$).
¶Связь с делением дробей
Деление дробей сводится к умножению: делитель переворачивается, и дроби перемножаются. Формально $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}$ при $c \neq 0$, $d \neq 0$. Это правило объясняется тем, что деление на дробь эквивалентно умножению на её обратную величину.
¶Практическое применение
Умножение дробей встречается в задачах на нахождение части целого: если известно, что $\frac{3}{8}$ площади поля занято посевом, а $\frac{2}{5}$ посевной площади — пшеницей, то доля пшеницы от общей площади равна $\frac{3}{8} \cdot \frac{2}{5} = \frac{6}{40} = \frac{3}{20}$.
В физике и технике операция используется при вычислении объёмов, масс, плотностей, а также при преобразовании единиц измерения, где коэффициенты перевода часто записываются в виде дробей.
¶Историческая справка
Современное правило умножения дробей было сформулировано в трудах средневековых математиков. В России оно вошло в школьные учебники в XVIII веке после реформы образования Петра I и последующих преобразований Екатерины II. В «Арифметике» Леонтия Филипповича Магницкого (1703) и в учебниках Николая Николаевича Бурцева правило излагалось в том же виде, что и в современных пособиях.
¶Источники
- Мордкович А. Г. «Алгебра. 7 класс»
- Виленкин Н. Я., Жохов В. И. «Математика. 5 класс»
- Кочетков Ю. А. «Арифметика и начала алгебры»
- Энциклопедический словарь юного математика