Валентность тензора

Валентность тензора — это фундаментальная характеристика тензора, определяющая количество его индексов (ранг) и их тип (ковариантные или контравариантные), что задает закон преобразования компонент тензора при замене базиса векторного пространства. Валентность является ключевым понятием в тензорном исчислении, используемом в линейной алгебре, дифференциальной геометрии, теории относительности, механике сплошных сред и других разделах физики и математики. Термин «валентность» часто применяется как синоним «ранга» или «порядка» тензора, но при этом уточняет характер преобразования по каждому индексу.

Определение и основные понятия

Тензор определяется как полилинейная функция, отображающая наборы ковариантных и контравариантных векторов в скаляр. Валентность тензора обозначается парой чисел (p, q) или пишется как тензор типа (p, q), где p — число контравариантных (верхних) индексов, а q — число ковариантных (нижних) индексов. Полный ранг тензора равен сумме p + q.

Контравариантные индексы соответствуют компонентам, которые преобразуются обратно преобразованию базиса (с помощью матрицы, обратной к матрице перехода). Например, компоненты обычного вектора в евклидовом пространстве являются контравариантными (верхний индекс). Ковариантные индексы преобразуются так же, как и базисные векторы (с помощью прямой матрицы перехода). Примером ковариантного объекта является ковектор (линейная форма), задаваемый нижним индексом.

Смешанные тензоры содержат как ковариантные, так и контравариантные индексы, например, тензор типа (1, 1). Чисто ковариантные тензоры (0, q) и чисто контравариантные тензоры (p, 0) также являются частными случаями.

История

Понятие тензора и его валентности (ранга) сформировалось в XIX — начале XX века в работах математиков и физиков. Основы тензорного исчисления заложили:

• Бернхард Риман в 1854 году при построении римановой геометрии (кривизна пространства описывается тензором Римана типа (1, 3)).
• Эудженио Бельтрами и Грегорио Риччи-Курбастро в конце XIX века разработали формальный аппарат тензорного анализа, введя обозначения с верхними и нижними индексами.
• Туллио Леви-Чивита в начале XX века развил теорию ковариантного дифференцирования и тензоров в искривленных пространствах.
• Альберт Эйнштейн в 1915 году применил тензорное исчисление в общей теории относительности, где тензор кривизны (тензор Римана) и тензор энергии-импульса играют центральную роль.

Термин «валентность» (от лат. valentia — сила) стал широко использоваться в русскоязычной математической литературе, подчеркивая число «связей» (индексов) тензора с базисом.

Классификация по валентности

Скаляры (тензоры ранга 0)

Тензор с валентностью (0, 0) не имеет индексов. Его значение — число, не меняющееся при преобразовании координат. Примеры: температура, масса, электрический заряд.

Векторы и ковекторы (тензоры ранга 1)

• Контравариантный вектор (тип (1, 0)): задается одним верхним индексом, например, радиус-вектор частицы \( x^i \). Его компоненты преобразуются по закону \( A'^i = \frac{\partial x'^i}{\partial x^j} A^j \).
• Ковариантный вектор (тип (0, 1)): задается одним нижним индексом, например, градиент скалярной функции \( \frac{\partial f}{\partial x^i} \). Его компоненты преобразуются как \( B'_i = \frac{\partial x^j}{\partial x'^i} B_j \).

Тензоры второго ранга (тип (0,2), (1,1), (2,0))

• Ковариантный тензор (0,2): два нижних индекса; описывает билинейные формы, метрический тензор \( g_{ij} \).
• Контравариантный тензор (2,0): два верхних индекса; обратный метрический тензор \( g^{ij} \).
• Смешанный тензор (1,1): один верхний, один нижний индекс; линейные операторы, например, тензор напряжений в механике сплошных сред \( \sigma^i_j \).

Тензоры старших рангов

Тензоры с валентностью (p, q) при p+q ≥ 3. Примеры:

• Тензор Римана (1, 3) в общей теории относительности, описывающий кривизну пространства-времени.
• Тензор энергии-импульса (0, 2) или (1, 1) в релятивистской механике.
• Тензор упругости (0, 4) в теории упругости, связывающий деформации и напряжения.

Законы преобразования компонент

Основное свойство тензора — его компоненты преобразуются по строго определенному закону при замене базиса. Пусть задан базис \( \{ \mathbf{e}_i \} \) и новый базис \( \{ \mathbf{e}'_i \} \), связанные матрицей перехода \( \mathbf{A} \): \( \mathbf{e}'_i = A^j_i \mathbf{e}_j \). Обратная матрица \( \mathbf{B} = \mathbf{A}^{-1} \) такова, что \( \mathbf{e}_i = B^j_i \mathbf{e}'_j \). Для тензора типа (p, q) его компоненты в новом базисе выражаются через старые по формуле:

\[ T'^{i_1 \dots i_p}_{j_1 \dots j_q} = \sum_{k_1, \dots, k_p, l_1, \dots, l_q} \left( \prod_{\alpha=1}^p A^{i_\alpha}_{k_\alpha} \right) \left( \prod_{\beta=1}^q B^{l_\beta}_{j_\beta} \right) T^{k_1 \dots k_p}_{l_1 \dots l_q} \]

где \( A^{i}_{k} \) — элементы прямой матрицы перехода (для контравариантных индексов), \( B^{l}_{j} \) — элементы обратной матрицы (для ковариантных). Суммирование проводится по всем повторяющимся индексам.

Примеры тензоров различной валентности

Операции над тензорами и валентность

Сложение

Складывать можно только тензоры одинаковой валентности (одинакового типа). Результат — тензор того же типа.

Умножение

Прямое (тензорное) произведение двух тензоров типов (p1, q1) и (p2, q2) даёт тензор типа (p1+p2, q1+q2).

Свёртка (контракция)

Операция свёртки уменьшает валентность: тензор типа (p, q) при свёртке по одному верхнему и одному нижнему индексу даёт тензор типа (p-1, q-1). Например, след матрицы (свёртка тензора (1,1)) — скаляр.

Поднятие и опускание индексов

С помощью метрического тензора \( g_{ij} \) (ковариантного) и его обратного \( g^{ij} \) (контравариантного) можно преобразовывать ковариантные индексы в контравариантные и обратно, изменяя валентность.

Значение в физике и математике

• В общей теории относительности тензор кривизны (валентность (1,3)) и тензор энергии-импульса ((0,2) или (1,1)) — центральные объекты, описывающие гравитацию.
• В механике сплошных сред тензоры напряжений и деформаций (второго ранга) связывают силовые и геометрические характеристики.
• В дифференциальной геометрии тензор Римана, тензор Риччи (свёртка тензора Римана) и скалярная кривизна — инварианты, характеризующие геометрию многообразий.
• В квантовой механике тензорные произведения пространств состояний описывают составные системы (например, запутанные состояния).
• В теории групп тензорные представления групп Ли классифицируются по валентности.

Критика и альтернативные подходы

Термин «валентность» не является общепринятым в западной литературе, где чаще используется «ранг» (rank) или «тип» (type) тензора. Путаница может возникнуть из-за того, что «ранг» иногда обозначает только число индексов (сумму p+q), а не тип. В русскоязычной традиции «валентность» подчёркивает различие между ковариантными и контравариантными индексами. Некоторые авторы предлагают использовать термин «тензорный порядок» для p+q и валентность для пары (p,q). В прикладных областях (например, в машинном обучении) тензорами часто называют многомерные массивы без учёта законов преобразования, и понятие валентности там не применяется.

Интересные факты

• Понятие валентности в тензорном исчислении возникло под влиянием химического термина «валентность», обозначающего число связей атома.
• В общей теории относительности тензор кривизны имеет 20 независимых компонент в четырёхмерном пространстве-времени (при симметриях).
• Операция свёртки тензора по всем индексам (полная свёртка) даёт скаляр — инвариант относительно преобразований координат.

Источники

• Акивис М. А., Гольдберг В. В. «Тензорное исчисление».
• Рашевский П. К. «Риманова геометрия и тензорный анализ».
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. «Современная геометрия: методы и приложения».
• Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. «Гравитация».