Виды чисел в математике¶

Числа — математические объекты, используемые для счёта, измерения и обозначения величин; в широком смысле числа образуют фундаментальные структуры — числовые множества и поля, на которых строится большая часть математики. Понятие числа развивалось тысячелетиями: от натуральных чисел, возникших из практических потребностей счёта, до абстрактных конструкций XX века, таких как гиперкомплексные числа и p-адические числа.

¶Натуральные числа

Натуральные числа — числа 1, 2, 3, … (в некоторых формализациях вместе с нулём), первые абстрактные объекты, с которыми сталкивается человек. Множество натуральных чисел обозначается ℕ. Именно натуральные числа лежат в основе математической индукции — метода доказательства, специфического для дискретной математики. Сложение и умножение натуральных чисел замкнуты (результат всегда натуральное число), однако вычитание и деление — нет, что и послужило толчком к расширению числовых множеств.

¶Целые числа

Целые числа обозначаются ℤ и включают натуральные числа, их противоположности (отрицательные числа) и ноль: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …. Введение отрицательных чисел позволило сделать вычитание обратимой операцией. Целые числа образуют коммутативное кольцо, но не поле: деление двух целых чисел не всегда даёт целое (например, 7 : 2 = 3,5).

¶Рациональные числа

Рациональные числа — числа, представимые в виде дроби m/n, где m и n — целые числа, n ≠ 0. Множество обозначается ℚ. Рациональные числа включают конечные и периодические десятичные дроби (например, 0,5 = 1/2, 0,333… = 1/3). Образуют поле: любые два рациональных числа можно сложить, вычесть, умножить и разделить (кроме деления на ноль). Понятие рационального числа возникло ещё в Древней Греции в связи с проблемой деления отрезка на части.

¶Действительные числа

Действительные (вещественные) числа обозначаются ℝ и включают рациональные и иррациональные числа. Иррациональные числа не могут быть представлены в виде дроби целых: к таким числам относятся √2, √3, π, e. Открытие иррациональных чисел (легенда связывает его с пифагорейцем Гиппасом) стало первым кризисом в истории математики: оказалось, что отрезок диагонали единичного квадрата несоизмерим с его стороной.

Действительные числа образуют упорядоченное поле, в котором выполнены аксиомы полноты (например, аксиома верхней грани). Благодаря полноте в ℝ можно определить предел последовательности, непрерывность функций и построить дифференциальное и интегральное исчисление. Десятичная запись действительного числа может быть конечной, бесконечной непериодической (π = 3,1415926535…) или периодической (рациональные числа).

¶Комплексные числа

Комплексные числа обозначаются ℂ и имеют вид a + bi, где a, b — действительные числа, а i — мнимая единица, корень из −1. Комплексные числа возникли в XVI веке в работах итальянских математиков (Рафаэль Бомбелли, Джероламо Кардано) при решении кубических уравнений и были окончательно обоснованы в трудах Леонарда Эйлера и Карла Гаусса в XVIII–XIX веках. ℂ — алгебраически замкнутое поле: любое алгебраическое уравнение с комплексными коэффициентами имеет корень в ℂ (основная теорема алгебры). Геометрически комплексные числа изображаются точками (или векторами) на комплексной плоскости.

¶Числа, выходящие за рамки классических полей

¶Алгебраические и трансцендентные числа

Алгебраические числа — корни многочленов с целыми коэффициентами (например, √2, i). Трансцендентные числа — неалгебраические; к ним относятся π и e. Трансцендентность π доказал Фердинанд Линдеманн в 1882 году, что закрыло задачу о квадратуре круга.

¶Кватернионы и гиперкомплексные числа

Кватернионы (обозначение ℍ) ввёл Уильям Роуэн Гамильтон в 1843 году. Это числа вида a + bi + cj + dk, где i² = j² = k² = ijk = −1. В отличие от комплексных чисел, умножение кватернионов некоммутативно. Кватернионы применяются в компьютерной графике, квантовой механике и теории ориентации в пространстве. Существуют и более широкие классы гиперкомплексных систем: октонионы (некоммутативные и некассоциативные), седенионы и другие.

¶p-адические числа

p-адические числа (для простого p) ввёл Курт Гензель в 1897 году. Вместо привычной метрики расстояния они используют необычную p-адическую метрику, в которой два числа тем ближе, чем на большую степень p делится их разность. p-адические числа дополняют рациональные числа и применяются в современной теории чисел.

¶Мнимые и трансцендентные расширения

Мнимые числа — часть комплексных чисел с ненулевой мнимой частью (b ≠ 0). Сверхбольшие (гиперреальные) и сверхмалые числа возникают в нестандартном анализе Абрахама Робинсона (1960-е) и включают бесконечно большие и бесконечно малые величины.

¶Комплексные подклассы

Комплексные числа делятся на действительные (b = 0) и чисто мнимые (a = 0). Действительные, в свою очередь, делятся на рациональные и иррациональные; иррациональные — на алгебраические и трансцендентные. Эта классификация отражает иерархию вложений:

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ

Каждое следующее множество содержит предыдущее и обладает дополнительными алгебраическими свойствами.

¶Применение

Натуральные и целые числа используются в дискретной математике, информатике (целочисленные типы данных), экономике. Рациональные — в бухгалтерии и инженерных расчётах. Действительные — в физике, инженерии, анализе. Комплексные — в электротехнике (операторные методы), квантовой механике (волновая функция), теории функций. Кватернионы — в обработке трёхмерных поворотов. p-адические числа — в теории чисел и алгебраической геометрии.

¶Историческая справка

Древние египтяне и вавилоняне оперировали преимущественно рациональными числами. Индийские математики V–VII веков (Брахмагупта, Бхаскара II) первыми систематически работали с нулём и отрицательными числами. Европейская математика приняла отрицательные числа лишь к XVI–XVII векам. Иррациональность √2 доказана в Древней Греции, трансцендентность e — Шарлем Эрмитом в 1873 году, трансцендентность π — Линдеманном в 1882-м. Полное аксиоматическое обоснование действительных чисел дали Рихард Дедекинд (сечение Дедекинда, 1872) и Георг Кантор (теория множеств).

¶Источники

• Кудрявцев Л. Д. Курс истории математики. — М.: Наука.
• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: Факториал Пресс.
• Зорич В. А. Математический анализ. — М.: МЦНМО.
• Новиков С. П., Фоменко А. Т. Систематический курс алгебры. — М.: УРСС.
• Кантор Г. Общее основание теории множеств. — Математические заметки.