Вписываемая окружность четырёхугольника¶
Вписываемая окружность четырёхугольника — окружность, все точки которой лежат на сторонах четырёхугольника, а сама фигура целиком находится внутри неё. Четырёхугольник, допускающий построение такой окружности, называется вписанным (или окружно-описанным). Не всякий четырёхугольник обладает этим свойством: необходимым и достаточным условием является равенство сумм длин противоположных сторон.
¶Критерий вписанности
Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма длин его противоположных сторон равна:
$$a + c = b + d,$$
где $a$, $b$, $c$, $d$ — длины сторон четырёхугольника, взятые по порядку. Эта теорема является обратной к теореме о касательных: если из точки вне окружности проведены два касательных отрезка, они равны. Следовательно, если четырёхугольник вписан в окружность, то касательные отрезки, проведённые из вершин, попарно равны, и суммы противоположных сторон совпадают.
Для произвольного четырёхугольника с заданными сторонами $a$, $b$, $c$, $d$ условие $a + c = b + d$ является одновременно и необходимым, и достаточным. Если оно нарушено, построить вписанную окружность невозможно.
¶Виды четырёхугольников с вписанной окружностью
¶Квадрат
Квадрат — частный случай четырёхугольника с вписанной окружностью. Все четыре стороны равны, поэтому условие $a + c = b + d$ выполняется тривиально ($2a = 2a$). Центр вписанной окружности совпадает с центром квадрата, а радиус равен половине стороны: $r = \frac{a}{2}$.
¶Ромб
Ромб также допускает вписанную окружность: все стороны равны, условие выполняется. Центр окружности — точка пересечения диагоналей, радиус равен расстоянию от центра до любой стороны. Для ромба с диагоналями $d_1$ и $d_2$ радиус вписанной окружности выражается как $r = \frac{d_1 d_2}{2\sqrt{d_1^2 + d_2^2}}$.
¶Квадрат и прямоугольник
Прямоугольник, кроме квадрата, в окружность вписать нельзя: у него $a = c$ и $b = d$, но $a + c = 2a \neq 2b = b + d$, если $a \neq b$. Это согласуется с тем, что в прямоугольнике нет равных касательных отрезков из вершин.
¶Трапеция
В окружность можно вписать равнобедренную трапецию: её основания $a$ и $c$ и равные боковые стороны $b = d$ удовлетворяют условию $a + c = 2b$. Равнобедренная трапеция — единственная трапеция с вписанной окружностью, если не считать прямоугольника (который является вырожденным случаем).
¶Дельтаиды и четырёхугольники с описанной окружностью
Отдельно рассматривается класс четырёхугольников, вписанных в окружность (у которых все вершины лежат на окружности). Такие четырёхугольники называются вписанными в окружность (в отличие от четырёхугольников, в которые вписана окружность). Сумма противоположных углов вписанных четырёхугольников равна $180°$.
¶Свойства и формулы
Для четырёхугольника с вписанной окружностью справедливы следующие соотношения:
- Площадь: $S = r \cdot s$, где $s = \frac{a + b + c + d}{2}$ — полупериметр, $r$ — радиус вписанной окружности. Эта формула является обобщением формулы площади треугольника.
- Радиус вписанной окружности: $r = \frac{S}{s}$.
- Теорема Питагора для четырёхугольника: если четырёхугольник вписан в окружность и имеет вписанную окружность (так называемый бикруговой четырёхугольник), то произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон: $ac + bd = ef$, где $e$ и $f$ — диагонали. Это следствие теоремы Питагора, применённой к ортогональным диагоналям.
¶Построение
Для построения вписанной окружности в четырёхугольник с известными сторонами, удовлетворяющими условию $a + c = b + d$, используется следующий алгоритм:
- Откладываем на сторонах отрезки, равные касательным отрезкам: от каждой вершины откладываем на прилежащие стороны отрезки, равные $x$, $y$, $z$, $w$, где $x + y = a$, $y + z = b$, $z + w = c$, $w + x = d$.
- Из полученных точек проводим перпендикуляры к сторонам — они пересекутся в центре вписанной окружности.
- Радиус равен длине любого из этих перпендикуляров.
Решение системы даёт: $x = \frac{a + d - b - c}{2} + \frac{b}{2}$ и аналогично для остальных. При выполнении условия $a + c = b + d$ система имеет единственное решение.
¶Применение
Свойства четырёхугольников с вписанной окружностью используются в геометрии, теории чисел (задачи о квадратах с целочисленными сторонами и радиусом), а также в инженерных расчётах, где требуется оптимальное вписывание круглых элементов в четырёхугольные контуры.
¶Источники
- Пономарёв Л. И. «Геометрия. 7–9 классы»
- Атанасян Л. С. «Геометрия. 7–9 классы»
- Родионов А. И. «Геометрия. 10–11 классы»
- Киселёв А. П. «Геометрия. Учебник для 7–8 классов»