Вспомогательная теорема в математике¶

Вспомогательная теорема — это теорема, доказательство которой включается в доказательство другой, основной теоремы, с целью упрощения или разбивки сложного доказательства на более простые логические шаги. Термин отражает служебную, вспомогательную роль такой теоремы: она формулируется не как самостоятельный результат, а как инструмент для достижения главной цели рассуждения. В русскоязычной математической традиции вспомогательные теоремы принято обозначать латинскими буквами (лемма, от англ. lemma — «вспомогательное положение»), хотя в разговорной и кроссвордной культуре слово «вспомогательная» часто выступает как синоним термина «лемма».

¶Лемма как вспомогательная теорема

В строгой математической терминологии вспомогательная теорема чаще всего называется леммой. Лемма формулируется и доказывается до того, как будет доказана основная теорема, и её результат используется как готовое утверждение. В отличие от леммы, теорема считается самостоятельным, «главным» результатом, а королларий (следствие) — прямым выводом из уже доказанной теоремы.

Иерархия выглядит следующим образом:

• Лемма — вспомогательное утверждение, служащее для доказательства теоремы.
• Теорема — основной результат, ради доказательства которого всё и строится.
• Следствие (королларий) — утверждение, вытекающее непосредственно из теоремы.
• Предложение — обобщённое название для любого доказываемого утверждения, часто используется для менее значимых результатов.

Граница между леммой и теоремой подчас условна: одно и то же утверждение в разных монографиях может быть названо то леммой, то теоремой, в зависимости от того, какую роль оно играет в конкретном изложении. Тем не менее в учебной и исследовательской практике разграничение сохраняется и помогает читателю ориентироваться в структуре доказательства.

¶Примеры известных вспомогательных теорем

В истории математики есть леммы, ставшие столь же известными, сколь и теоремы, ради которых они были сформулированы.

• Лемма Евклида («если простое число делит произведение двух чисел, то оно делит хотя бы одно из них») — ключевой шаг в доказательстве бесконечности множества простых чисел, изложенной в «Началах» (около 300 года до н. э.).
• Лемма Гаусса — используется в теории чисел, в частности при доказательстве квадратичного закона взаимности.
• Лемма Цорна — важное утверждение теории множеств, эквивалентное аксиоме выбора; формулируется в терминах цепей и максимальных элементов частично упорядоченных множеств.
• Лемма Шура — вспомогательное положение теории групп, связывающее число представлений группы с числом её классов сопряжённости.
• Лемма о трёх кругах — результат комплексного анализа, сформулированный Жюлем Гуа.
• Лемма о неподвижной точке — утверждение о существовании неподвижной точки при непрерывном отображении компакта в себя; лежит в основе ряда важнейших теорем топологии.

¶Роль в доказательствах

Разбиение доказательства на леммы и основную теорему выполняет несколько функций. Во-первых, оно упрощает восприятие: читателю проще усвоить несколько коротких утверждений, чем одно громоздкое. Во-вторых, вспомогательные теоремы часто переиспользуются — однажды доказанная лемма может пригодиться в десятках последующих работ. В-третьих, леммы позволяют выделить ключевой технический ход, заслуживающий отдельного рассмотрения.

Примером может служить доказательство большой теоремы Ферма Эндрю Уайлса (1995). В ходе работы над ним были сформулированы и доказаны десятки вспомогательных результатов, некоторые из которых (например, теорема о модульности эллиптических кривых) впоследствии приобрели самостоятельное значение.

¶Вспомогательные теоремы в педагогике

В школьных и вузовских курсах математики вспомогательные теоремы традиционно вводятся для обоснования основных формул и правил. Так, при доказательстве формулы площади треугольника через основание и высоту сначала устанавливается вспомогательное утверждение о параллельных линиях и равенстве расстояний между ними. В курсе геометрии Е. П. Белова и в классическом учебнике И. Ф. Шарыгина вспомогательные теоремы вынесены в отдельные параграфы, что подчёркивает их методическое значение.

¶Термин в кроссвордах и смежных областях

Слово «вспомогательная» с определением «теорема» является распространённой подсказкой в кроссвордах и сканвордах; ответом на неё служит слово из пяти букв — ЛЕММА. Такое совпадение отражает устоявшееся в русском языке отождествление леммы с вспомогательной теоремой.

Источники:

• Кураторов В. А. Математический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия, 1988.
• Евклид. Начала. — М.: Наука, 1993.
• Шарыгин И. Ф. Геометрия. 7—9 классы. — М.: Дрофа.
• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. — М.: Высшая школа.