Грань — понятие геометрии и смежных наук¶

Грань — в широком смысле плоская или изогнутая поверхность, ограничивающая объёмное тело и разделяющая его от внешнего пространства; в геометрии и смежных дисциплинах термин обозначает элементы многогранников, тел вращения, кристаллов и абстрактных структур. Понятие грани используется в стереометрии, кристаллографии, компьютерной графике, архитектуре и математическом анализе, причём в каждой области оно имеет уточнённое определение.

¶Грань в геометрии

¶Многогранники

В классической стереометрии гранью многогранника называется плоский многоугольник, который принадлежит поверхности многогранника и ограничен его рёбрами. Грань является одновременно и частью поверхности тела, и самостоятельной геометрической фигурой — плоским многоугольником, у которого можно измерить площадь, найти углы и диагонали.

Основные многогранники описываются через число граней:

Пять перечисленных тел — правильные многогранники, доказательство единственности которых принадлежит Леонарду Эйлеру. Формула Эйлера для выпуклых многогранников связывает число вершин V, рёбер E и граней F: V − E + F = 2. Эта зависимость показывает, что характеристики граней не могут меняться произвольно — они жёстко связаны с остальными элементами тела.

¶Тела вращения

Для тел вращения (цилиндра, конуса, шара) понятие грани трактуется шире: здесь гранью называют любую поверхность, ограничивающую тело. У цилиндра таких поверхностей три — две круглые основания и боковая поверхность. У шара единственная грань — сферическая поверхность. В этом смысле грань отождествляется с поверхностью тела.

¶Грань в кристаллографии

В кристаллографии гранью кристалла называется плоская поверхность, образованная плотной упаковкой атомов, ионов или молекул в решётке. Грани кристаллов часто имеют правильную геометрическую форму — квадраты, шестиугольники, ромбы — и образуют характерные для минерала внешние очертания. По форме и взаимному расположению граней определяют сингонию кристалла и его принадлежность к кристаллографической группе.

Направления и плоскости в кристаллической решётке обозначают индексами Миллера — тройкой чисел (hkl), задающих ориентацию грани относительно осей решётки. Изучение граней кристаллов позволило сформулировать законы рациональных индексов и закон постоянства углов, ставшие фундаментом кристаллографии как науки.

¶Грань в математическом анализе и топологии

В математическом анализе грани многомерных фигур — это части границы, имеющие пониженную размерность. Ребро куба — двумерная грань трёхмерного тела, а вершина — нулмерная грань. В общей топологии под гранью топологического комплекса понимают ячейку минимальной размерности, входящую в его построение.

Понятие грани тесно связано с понятием выпуклой оболочки: любая точка выпуклого многогранника либо лежит внутри одной из граней, либо представляется их выпуклой комбинацией. Задача о разложении многогранника на грани и поиск выпуклой оболочки множества точек — стандартные задачи вычислительной геометрии.

¶Грань в компьютерной графике

В трёхмерной компьютерной графике гранями называют плоские многоугольники (обычно треугольники или четырёхугольники), из которых собирается модель объекта. Совокупность граней образует полигонную сетку (mesh). Количество граней определяет детализацию модели: чем их больше, тем плавнее выглядит поверхность, но тем выше нагрузка на процессор и видеокарту.

Грани характеризуются нормалью — единичным вектором перпендикулярным к плоскости грани. Направление нормали определяет, видна ли грань наблюдателю: невидимые грани отсекаются на этапе рендеринга (backface culling), что существенно ускоряет вычисления. Для сглаживания стыков между гранями применяются алгоритмы фотореалистичного рендеринга и нормал-маппинг.

¶Грань в архитектуре и кристаллографии минералов

В архитектуре и строительстве термин «грань» употребляется для обозначения лицевой поверхности блоков, плит, колонн и других элементов. Обработка грани определяет внешний вид материала: шлифовка, полировка, скалывание, термообра�атка меняют её свойства и эстетику. Каменные блоки в исторических постройках часто имели тщательно обработанные грани, что определяло качество кладки.

¶Этимология

Русское слово «грань» восходит к праславянскому *granь, производному от корня, означающего «граница, предел». Слово родственно латинскому granum («зерно») лишь фонетически, семантическая связь отсутствует. В древнерусском языке «грань» означала прежде всего «границу, край», и лишь позже термин получил геометрическое значение — «грани тела».

¶Применение

Понятие грани применяется в кристаллографии, минералогии, компьютерной графике, архитектуре, машиностроении (обработка поверхностей), теории графов (грани политопов) и квантовой физике (грани зон Бриллюэна). В теории политопов обобщение многогранников на произвольные размерности приводит к понятию грани как ячейки любой размерности, входящей в состав выпуклого политопа.

¶Источники

• Кочин Н. И. «Векторное исчисление и начала тензорного исчисления»
• Дунаев П. Ф. «Стереометрия»
• Булах А. Г. «Введение в кристаллографию»
• Фоменко А. Т. «Наглядная геометрия»
• Флеминг У. «Визуальное представление функций нескольких переменных»