Греческие цифры и системы счисления¶
Греческие цифры — совокупность систем записи чисел, использовавшихся в Древней Греции и в грекоязычном мире. В отличие от позиционных систем, все греческие системы были непозиционными: значение знака не зависело от его места в записи. Исторически сложились две основные системы — аттическая (акрофоническая) и ионийская (алфавитная), причём последняя надолго стала основной и сохранялась в греческой письменности вплоть до позднего Средневековья и Нового времени.
¶Аттическая система
Аттическая, или геродианова, система возникла не позднее V века до н. э. и бытовала в Аттике — области вокруг Афин. Она относится к акрофоническому типу: знак числа образован от первой буквы соответствующего греческого числительного.
| Число | Знак | Происхождение |
|---|---|---|
| 1 | Ι | от «ἴος»/единица |
| 5 | Γ | от «πέντε» (пять) |
| 10 | Δ | от «δέκα» (десять) |
| 100 | Η | от «ἑκατόν» (сто) |
| 1000 | Χ | от «χίλιοι» (тысяча) |
| 10 000 | Μ | от «μύριοι» (десять тысяч) |
Промежуточные значения получались повторением и сложением знаков: например, 4 записывалось как ΙΙΙΙ, 50 — как пять знаков Δ, 500 — как пять знаков Η. Для больших чисел использовался знак Μ (мириада, 10 000), который мог комбинироваться с множителем: так обозначались десятки и сотни тысяч. Аттическая система была наглядной, но громоздкой, поэтому постепенно уступила место более компактной алфавитной записи.
¶Ионийская (алфавитная) система
Ионийская система, также называемая александрийской, появилась около IV века до н. э. и к эллинистической эпохе вытеснила аттическую. В её основе лежит использование букв греческого алфавита в качестве цифр: первые девять букв обозначали единицы, следующие девять — десятки, ещё девять — сотни.
| Разряд | Значения | Буквы |
|---|---|---|
| Единицы | 1–9 | α, β, γ, δ, ε, ϝ (дигамма), ζ, η, θ |
| Десятки | 10–90 | ι, κ, λ, μ, ν, ξ, ο, π, ϟ (коппа) |
| Сотни | 100–900 | ρ, σ, τ, υ, φ, χ, ψ, ω, ϡ (сампи) |
Для трёх значений, которым не хватало букв алфавита, применялись архаичные знаки: дигамма (ϝ) для 6, коппа (ϟ) для 90 и сампи (ϡ) для 900. Тысячи обозначались теми же буквами единиц, но с особым знаком-меткой (обычно штрихом или запятой слева, иногда — чертой снизу). Например, 1000 — ͵α, 2000 — ͵β.
Чтобы отличить число от слова, над буквенной записью ставили горизонтальную черту или знак вроде титла. Порядок записи был убывающим: старшие разряды слева, младшие справа. Число 24 записывалось как κδ, число 347 — как τμζ.
¶Обозначение дробей и больших чисел
Для дробей использовался особый приём: знаменатель писался с верхним штрихом, а числитель — обычными буквами. Так, одна вторая обозначалась как γ΄ (то есть 1/2 от «триады» — единицы, делённой на части), а специфические дроби вроде 1/3, 1/4 имели собственные знаки.
Для очень больших величин греки применяли мириаду (10 000) как счётную единицу. Архимед в трактате «Псаммит» («Исчисление песчинок») разработал систему, позволяющую выражать числа вплоть до 10 в степени 80 000 000, вводя «мириады мириад» и последовательные порядки. Это была одна из первых в истории попыток построить развёрнутую систему для сколь угодно больших чисел.
¶Сравнение с другими системами
Греческие цифры принципиально отличаются от римских и от современных арабских:
- Непозиционность. Как и римская, греческая система не использует разрядное значение позиции; для больших чисел требуются дополнительные знаки.
- Алфавитность. В отличие от римской, ионийская система опирается на буквы алфавита, что делало запись компактнее, но затрудняло вычисления.
- Отсутствие нуля. Ни аттическая, ни ионийская системы не имели знака для нуля. Понятие нуля как числа в греческой математике не оформилось, хотя в астрономических текстах (например, у Птолемея) применялся символ «омикрон» для обозначения пустого разряда в шестидесятеричной вавилонской записи.
¶Применение и наследие
Ионийские цифры широко использовались в надписях, монетном деле, датировках рукописей, в математических и астрономических трудах. Они встречаются у Диофанта, в «Альмагесте» Птолемея, в византийских хрониках. В греческой церковной традиции буквенная нумерация сохраняется до сих пор: ею обозначают главы, псалмы, годы в выходных данных богослужебных книг.
С распространением арабской (индийской по происхождению) позиционной системы в Европе, а затем и в грекоязычном мире, алфавитные цифры вышли из повседневного употребления. Тем не менее они остаются объектом изучения палеографии и истории математики: по типу записи чисел датируются рукописи и документы, а знание ионийской системы необходимо для чтения оригинальных античных и византийских текстов.
¶Интересные факты
- Знак дигамма (ϝ) для числа 6 вышел из алфавита как буква, но сохранился именно как цифра.
- В ионийской системе число 666 записывалось как χξϛ — сочетание, известное по Откровению Иоанна Богослова.
- Греки не использовали отдельного знака для нуля, поэтому в записи чисел не было разрядных пропусков, как в позиционных системах.
- Слово «мириада» вошло во многие языки как обозначение неисчислимого множества.
Источники: труды по истории математики (Б. Л. ван дер Варден, К. Меннингер), исследования по греческой палеографии, статьи о системах счисления в математических энциклопедиях, трактат Архимеда «Псаммит».