Хорда окружности: свойства и теоремы¶

Хорда окружности — отрезок, соединяющий две произвольные точки окружности. Хорда является частным случаем секущей: если секущая пересекает окружность в двух точках, то отрезок, заключённый между этими точками, и есть хорда. Прямая, проходящая через концы хорды, называется секущей. В отличие от диаметра, который является самой длинной хордой и обязательно проходит через центр окружности, произвольная хорда может располагаться на любом расстоянии от центра.

¶Основные свойства хорд

¶Свойства, связанные с центром окружности

• Диаметр — это хорда, проходящая через центр окружности. Он является самой длинной хордой; длина любой другой хорды меньше диаметра.
• Перпендикулярность: радиус (или диаметр), проведённый к хорде перпендикулярно, делит эту хорду пополам. Обратное утверждение также верно: если радиус делит хорду пополам, то он перпендикулярен ей.
• Серединный перпендикуляр: серединный перпендикуляр к любой хорде проходит через центр окружности. Это следует из того, что центр окружности равноудалён от концов хорды.
• Расстояние до центра: чем ближе хорда расположена к центру окружности, тем она длиннее. Две хорды равны тогда и только тогда, когда они находятся на одинаковом расстоянии от центра.

¶Углы и дуги

• Равные хорды стягивают равные дуги (и наоборот, равные дуги стягиваются равными хордами).
• Параллельные хорды высекают на окружности равные дуги между своими концами.
• Вписанный угол, опирающийся на хорду, равен половине центрального угла, опирающегося на ту же хорду. Если вписанный угол опирается на диаметр, он всегда равен 90° (теорема Фалеса).

¶Теоремы о пересекающихся хордах

¶Теорема о пересекающихся хордах

Если две хорды окружности пересекаются в некоторой точке, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. Формально: если хорды \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(P\), то выполняется равенство: \[ AP \cdot PB = CP \cdot PD. \] Эта теорема является частным случаем теоремы о степени точки и широко используется при решении геометрических задач.

¶Следствия из теоремы

• Если точка пересечения делит одну хорду на отрезки \(a\) и \(b\), а другую на \(c\) и \(d\), то \(ab = cd\).
• Для хорды, проходящей через точку пересечения, произведение её отрезков постоянно для данной точки и данной окружности.

¶Хорда и касательная

• Теорема о касательной и хорде: угол между касательной, проведённой к окружности, и хордой, исходящей из точки касания, равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду (углу в «альтернативном» сегменте).
• Степень точки: если из внешней точки \(P\) проведены касательная \(PT\) и секущая, пересекающая окружность в точках \(A\) и \(B\), то \(PT^2 = PA \cdot PB\). Это соотношение также выражается через длину хорды \(AB\).

¶Длина хорды и связанные формулы

Длина хорды \(l\) может быть вычислена несколькими способами:

• Через радиус и центральный угол \(\theta\) (в радианах):

\[ l = 2R \sin\left(\frac{\theta}{2}\right). \]

• Через радиус и расстояние от центра до хорды \(d\) (по теореме Пифагора):

\[ l = 2\sqrt{R^2 - d^2}. \]

• Через вписанный угол \(\alpha\), опирающийся на хорду:

\[ l = 2R \sin \alpha. \]

¶Стрелка сегмента

Расстояние от середины хорды до дуги окружности называется стрелкой сегмента (высотой сегмента) и вычисляется как: \[ h = R - \sqrt{R^2 - \left(\frac{l}{2}\right)^2}. \]

¶Применение хорд

Понятие хорды используется в различных разделах математики и смежных областях:

• В геометрии — при доказательстве теорем об окружностях, построении правильных многоугольников (хорды являются сторонами вписанных многоугольников).
• В тригонометрии — исторически первая тригонометрическая функция (хорда) использовалась древнегреческими астрономами (Гиппарх, Птолемей) для составления таблиц, эквивалентных современным таблицам синусов.
• В строительстве и архитектуре — при расчёте арочных конструкций и куполов, где форма дуги задаётся хордой и стрелкой сегмента.
• В навигации и картографии — при вычислении расстояний по дуге большого круга (ортодромии), где хорда является приближением дуги.

¶Историческая справка

Термин «хорда» происходит от греческого слова chorde (кишечная струна, жила), что связано с натянутой тетивой лука. В античной математике хорда рассматривалась как отрезок, соединяющий две точки окружности, и использовалась для измерения углов. Синус угла в индийской математике первоначально определялся как половина хорды удвоенного угла, что отражено в терминологии (слово «джива» — полухорда — трансформировалось в «синус»).

¶См. также

• Окружность
• Диаметр
• Секущая
• Вписанный угол
• Теорема о степени точки

¶Литература

• Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 7–9 классы. — М.: Просвещение, 2010.
• Погорелов А. В. Геометрия. 7–11 классы. — М.: Просвещение, 2014.
• Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — М.: МЦНМО, 2006.