Интегрирование — математическая операция¶
Интегрирование (интеграл, интегральная операция) — одна из двух основных операций математического анализа, обратная дифференцированию. Если дифференцирование находит скорость изменения величины, то интегрирование решает обратную задачу — по скорости восстанавливает саму величину. Интегрирование применяется для вычисления площадей, объёмов, длин кривых, центров масс, работы сил и множества других величин.
¶Суть операции простыми словами
Интегрирование отвечает на вопрос: «если известно, с какой скоростью что-то меняется, каким было значение в каждый момент времени?». Например, если известна скорость автомобиля в каждый момент поездки, интегрирование позволяет вычислить пройденный путь. Если известна мощность насоса, наполняющего бак, интегрирование даёт объём воды, набранной за заданный интервал.
Геометрически интеграл от функции на отрезке равен площади фигуры, ограниченной графиком этой функции, осью абсцисс и двумя вертикальными прямыми. Эту площадь мысленно разбивают на бесконечно большое число бесконечно узких прямоугольников, площади которых складываются. Процесс предельного суммирования бесконечно малых слагаемых и есть интегрирование.
¶История
Предпосылки интегрального исчисления возникли ещё в Древней Греции. Архимед (около 287—212 до н. э.) с помощью метода исчерпывания вычислял площади круга и параболического сегмента, по существу применяя идеи, позже формализованные интегральным исчислением.
В XVII веке Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц независимо друг от друга создали математический анализ. Лейбниц ввёл обозначение ∫ (интегральный знак — вытянутая латинская буква S от лат. summa — «сумма») и сформулировал основную теорему анализа, связывающую интегрирование с дифференцированием. В XVIII—XIX веках Бернулли, Эйлер, Коши, Риман и Лебег разработали строгие определения интеграла — от интеграла Римана, применимого к достаточно гладким функциям, до интеграла Лебега, охватывающего широкий класс функций.
¶Основные виды интегралов
| Вид интеграла | Что вычисляет |
|---|---|
| Определённый интеграл | Число — площадь, объём, сумма |
| Неопределённый интеграл | Семейство всех первообразных функции |
| Кратный интеграл | Объёмы, массы, моменты в многомерных задачах |
| Криволинейный интеграл | Длина кривой, работа силы вдоль траектории |
| Поверхностный интеграл | Площадь поверхности, поток векторного поля |
Неопределённый интеграл обозначается ∫f(x)dx и представляет собой семейство функций F(x)+C, производная которых равна f(x). Константа C отражает неоднозначность: производная постоянной равна нулю, поэтому первообразная определена лишь с точностью до аддитивной константы.
Определённый интеграл от a до b обозначается ∫[a,b] f(x)dx и есть число. Связь между двумя понятиями устанавливает основная теорема математического анализа: если F — первообразная f, то определённый интеграл равен F(b) − F(a). Это позволяет вычислять интегралы через поиск первообразных.
¶Методы вычисления
Прямое вычисление определённого интеграла сводится к нахождению первообразной и подстановке границ. Для сложных случаев применяются:
- Интегрирование по частям — аналог произведения производных, переводит интеграл от одного произведения в интеграл от другого;
- Замена переменной — позволяет упростить подынтегральное выражение;
- Разложение на элементарные дроби — для рациональных функций;
- Тригонометрические замены — для выражений с корнями из квадратных трёхчленов;
- Численные методы (метод трапеций, метод Симпсона, метод Монте-Карло) — когда первообразная не выражается элементарными функциями или задана таблица значений.
¶Применение
Интегрирование широко используется в физике и технике: для вычисления работы переменной силы, центра масс тела, момента инерции, объёма давления, количества тепла. В теории вероятностей интеграл применяется для нахождения вероятностей непрерывных распределений. В экономике — для расчёта совокупного дохода и потребительского излишка. В компьютерной графике интегрирование лежит в основе рендеринга, а в теории сигналов — в основе преобразования Фурье.
¶Интегрирование в школьной программе
В российской школьной программе интегральное исчисление традиционно не изучается, однако его элементы входят в курс математического анализа первых курсов технических вузов. Понятие неопределённого интеграла и основные методы интегрирования обычно разбираются на первом семестре.
Источники:
- Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа
- Фихтенгольц Г. М. Курс математического анализа
- Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа
- Бурдаков О. Д., Смирнова Н. А. Математический анализ для инженеров