Компактификация Делиня — Мамфорда¶

Компактификация Делиня — Мамфорда — это метод компактификации пространств модулей алгебраических кривых, предложенный Пьером Делинем и Дэвидом Мамфордом в 1969 году. В алгебраической геометрии под компактификацией понимается построение полного (компактного в топологии Зарисского) многообразия, содержащего исходное некомпактное пространство в качестве плотного открытого подмножества. Компактификация Делиня — Мамфорда пространства модулей гладких кривых рода \(g\) (обозначаемого \(\mathcal{M}_g\)) добавляет на границу так называемые устойчивые кривые с особыми точками, что позволяет получить проективное многообразие \(\overline{\mathcal{M}}_g\), играющее фундаментальную роль в современной алгебраической геометрии, теории чисел и математической физике.

¶История

¶Предпосылки

Пространство модулей \(\mathcal{M}_g\) было введено Бернхардом Риманом в XIX веке как множество классов биголоморфной эквивалентности компактных римановых поверхностей рода \(g\). Однако \(\mathcal{M}_g\) не является компактным: последовательности кривых могут «уходить на бесконечность», например, когда на поверхности появляются узкие ручки, стягивающиеся в точки. Для применения методов проективной геометрии и теории пересечений требовалось компактное пополнение.

¶Работа Делиня и Мамфорда

В 1969 году Делинь и Мамфорд опубликовали статью «Irreducibility of the space of curves of given genus», в которой не только доказали неприводимость \(\mathcal{M}_g\) над полем комплексных чисел, но и предложили конструкцию компактификации. Основная идея заключалась в расширении класса допустимых кривых до так называемых устойчивых кривых (stable curves), которые могут иметь простейшие особенности — обыкновенные двойные точки (узлы). Кривая называется устойчивой, если её группа автоморфизмов конечна, что эквивалентно условию: на каждой компоненте рода 0 (рациональной сфере) должно быть не менее трёх отмеченных точек (особых или отмеченных), а на компоненте рода 1 (эллиптической) — не менее одной.

¶Развитие

Впоследствии компактификация Делиня — Мамфорда была обобщена на случай пространств модулей кривых с отмеченными точками (\(\overline{\mathcal{M}}_{g,n}\)), а также на пространства модулей отображений и стабильных отображений (теория Громова — Виттена). В 1980-х годах Мамфорд, Дэвид Гиттер и другие разработали теорию пересечений на \(\overline{\mathcal{M}}_g\), что привело к вычислению чисел Громова — Виттена и доказательству гипотез Вирасоро.

¶Определение и конструкция

¶Пространство модулей гладких кривых

Пусть \(\mathcal{M}_g\) — пространство модулей гладких проективных кривых рода \(g\) над полем комплексных чисел \(\mathbb{C}\). Это некомпактное многообразие (орбифолд) размерности \(3g-3\) для \(g \ge 2\). Для \(g=0\) и \(g=1\) размерности равны 0 и 1 соответственно.

¶Устойчивые кривые

Устойчивая кривая рода \(g\) — это связная проективная кривая \(C\) (возможно, приводимая) с не более чем обыкновенными двойными точками (узлами), такая что:

• арифметический род \(C\) равен \(g\);
• каждая рациональная компонента (сфера) имеет не менее трёх особых или отмеченных точек;
• каждая эллиптическая компонента (тор) имеет не менее одной особой точки.

Группа автоморфизмов такой кривой конечна. Множество классов изоморфизма устойчивых кривых образует пространство \(\overline{\mathcal{M}}_g\).

¶Компактификация

Компактификация Делиня — Мамфорда — это проективное многообразие \(\overline{\mathcal{M}}_g\), содержащее \(\mathcal{M}_g\) в качестве плотного открытого подмножества. Граница \(\partial \overline{\mathcal{M}}_g = \overline{\mathcal{M}}_g \setminus \mathcal{M}_g\) состоит из кривых хотя бы с одним узлом. Эта граница является объединением дивизоров, соответствующих различным способам вырождения кривых.

¶Свойства

¶Проективность

\(\overline{\mathcal{M}}_g\) является проективным многообразием, что позволяет применять методы проективной алгебраической геометрии. Проективность была доказана Делинем и Мамфордом с использованием теории инвариантов и вложения в проективное пространство с помощью канонического расслоения.

¶Неприводимость

Делинь и Мамфорд доказали, что \(\overline{\mathcal{M}}_g\) неприводимо (связно и не является объединением двух собственных замкнутых подмножеств) для любого \(g \ge 0\). Это свойство важно для изучения пересечений на пространстве модулей.

¶Размерность

Размерность \(\overline{\mathcal{M}}_g\) равна \(3g-3\) для \(g \ge 2\), \(1\) для \(g=1\) и \(0\) для \(g=0\). Граница имеет размерность \(3g-4\).

¶Структура границы

¶Дивизоры вырождения

Граница \(\partial \overline{\mathcal{M}}_g\) состоит из дивизоров \(\Delta_0, \Delta_1, \dots, \Delta_{\lfloor g/2 \rfloor}\), где:

• \(\Delta_0\) — кривые с одним узлом, не разделяющим кривую на две части (неразделяющий узел);
• \(\Delta_i\) для \(i \ge 1\) — кривые, состоящие из двух компонент родов \(i\) и \(g-i\), соединённых в одной точке.

Каждый дивизор \(\Delta_i\) изоморфен \(\overline{\mathcal{M}}_{i,1} \times \overline{\mathcal{M}}_{g-i,1}\) (с точностью до симметрии), где \(\overline{\mathcal{M}}_{i,1}\) — пространство модулей устойчивых кривых рода \(i\) с одной отмеченной точкой.

¶Примеры

• Для \(g=2\) граница состоит из двух дивизоров: \(\Delta_0\) (кривая с неразделяющим узлом) и \(\Delta_1\) (кривая из двух эллиптических компонент, соединённых в точке).
• Для \(g=3\) граница включает \(\Delta_0\), \(\Delta_1\) (компоненты родов 1 и 2) и \(\Delta_2\) (компоненты родов 2 и 1, но \(\Delta_2\) эквивалентен \(\Delta_1\) из-за симметрии).

¶Применения

¶Теория пересечений

Компактификация Делиня — Мамфорда позволяет вычислять числа пересечений классов когомологий на \(\overline{\mathcal{M}}_g\). Эти числа, известные как числа Громова — Виттена, используются в зеркальной симметрии и топологической теории струн. Например, формулы Вирасоро, доказанные Концевичем, дают рекуррентные соотношения для чисел пересечений на \(\overline{\mathcal{M}}_{g,n}\).

¶Модули стабильных отображений

В теории Громова — Виттена компактификация Делиня — Мамфорда обобщается до пространства стабильных отображений \(\overline{\mathcal{M}}_{g,n}(X, \beta)\), где \(X\) — проективное многообразие, а \(\beta\) — класс гомологий. Это пространство компактифицирует пространство голоморфных отображений из кривых в \(X\) и используется для определения инвариантов Громова — Виттена.

¶Арифметическая геометрия

Над полями положительной характеристики и числовыми полями компактификация Делиня — Мамфорда применяется для изучения редукции кривых и построения пространств модулей над кольцами целых чисел. В частности, она используется в теории стека модулей кривых и в доказательстве гипотезы Морделла (теорема Фальтингса).

¶Математическая физика

В квантовой теории поля и теории струн пространство \(\overline{\mathcal{M}}_g\) моделирует пространство мировых поверхностей (римановых поверхностей) с вырождениями. Интегралы по пространству модулей кривых появляются в струнных амплитудах и в топологической теории струн.

¶Обобщения

¶Пространства с отмеченными точками

Компактификация \(\overline{\mathcal{M}}_{g,n}\) для кривых с \(n\) отмеченными точками строится аналогично: устойчивые кривые могут иметь отмеченные точки, которые не совпадают с узлами и не являются особыми. Каждая отмеченная точка должна быть неособой, и на каждой рациональной компоненте должно быть не менее трёх особых или отмеченных точек.

¶Стеки модулей

В современной алгебраической геометрии пространства модулей кривых рассматриваются как алгебраические стеки (stack), что позволяет учитывать автоморфизмы кривых. Стек \(\overline{\mathcal{M}}_g\) является гладким и собственным, в отличие от многообразия, которое может иметь особенности в точках, соответствующих кривым с нетривиальными автоморфизмами.

¶Компактификации в других контекстах

Существуют и другие компактификации пространств модулей, например, компактификация Бейли — Бореля для пространств модулей абелевых многообразий, компактификация Сато — Гриффитса для пространств модулей поляризованных абелевых многообразий, а также компактификации с помощью стабильных логарифмических кривых (логарифмическая геометрия).

¶Критика и ограничения

Хотя компактификация Делиня — Мамфорда является стандартной и наиболее широко используемой, она имеет некоторые недостатки:

• Граница может быть негладкой (особенности возникают в точках, соответствующих кривым с большим числом узлов или с автоморфизмами).
• Для некоторых приложений (например, в теории пересечений на стеках) требуется более гладкая компактификация, такая как компактификация с помощью стабильных кривых с отмеченными точками на границе (компактификация Кнудсена — Момфорда).
• В арифметической геометрии компактификация над кольцами целых чисел может быть негладкой, что приводит к необходимости использования теории логарифмических структур.

¶Источники

• Deligne, P., Mumford, D. (1969). «Irreducibility of the space of curves of given genus». Publications Mathématiques de l'IHÉS, 36, 75–109.
• Harris, J., Morrison, I. (1998). Moduli of Curves. Springer-Verlag.
• Kock, J., Vainsencher, I. (2007). An Invitation to Quantum Cohomology: Kontsevich's Formula for Rational Plane Curves. Birkhäuser.
• Mumford, D. (1983). «Towards an enumerative geometry of the moduli space of curves». Arithmetic and Geometry, 271–328.
• Vakil, R. (2008). «The moduli space of curves and its tautological ring». Notices of the AMS, 55(4), 432–443.