Координата — математическое понятие¶
Координата — величина, определяющая положение точки на оси, поверхности или в пространстве относительно выбранной системы отсчёта. Координаты образуют упорядоченный набор чисел (или других значений), однозначно задающий позицию объекта в заданном пространстве. Понятие является центральным в аналитической геометрии, линейной алгебре и физике; связь между координатами и геометрическими величинами устанавливается с помощью формул.
¶История
Понятие координаты было введено французским математиком Рене Декартом в 1637 году в трактате «Геометрия». Декартовы координаты позволили описывать геометрические фигуры алгебраическими уравнениями и заложили основы аналитической геометрии. Независимо от Декарта аналогичные идеи разрабатывал французский учёный Пьер де Ферма.
В дальнейшем понятие координаты было обобщено: швейцарский математик Леонард Эйлер ввёл ортонормированные системы координат, а немецкий математик Герман Грассман и ирландский физик Уильям Роуэн Гамильтон разработали теорию векторов и кватернионов, расширив координатное представление на произвольные пространства. В XX веке понятие координаты стало основой римановой геометрии и общей теории относительности Альберта Эйнштейна.
¶Системы координат
Система координат — совокупность осей, начала отсчёта и правил, позволяющих задать координаты любой точки пространства. Основные типы:
| Система | Область применения | Пример координат |
|---|---|---|
| Декартова (прямоугольная) | Плоскость и пространство | $(x, y)$, $(x, y, z)$ |
| Полярная | Плоскость | $(r, \varphi)$ |
| Цилиндрическая | Пространство | $(r, \varphi, z)$ |
| Сферическая | Пространство | $(r, \theta, \varphi)$ |
| Криволинейная | Общие пространства | $(u^1, u^2, u^3)$ |
В декартовой системе координаты точки — это ортогональные проекции её радиус-вектора на оси. В полярной системе координата $r$ — расстояние от точки до начала отсчёта, $\varphi$ — угол между направлением на точку и полярной осью.
¶Формулы с координатами
¶Расстояние между точками
Расстояние $d$ между двумя точками $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$ на плоскости определяется по формуле:
$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$
В трёхмерном пространстве для точек $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$:
$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$
Формула является обобщением теоремы Пифагора на произвольное число измерений.
¶Середина отрезка
Координаты точки $M$, делящей отрезок $AB$ в отношении $m:n$, задаются формулами:
$$x_M = \frac{m x_2 + n x_1}{m + n}, \quad y_M = \frac{m y_2 + n y_1}{m + n}$$
При $m = n$ получаются координаты середины отрезка.
¶Уравнение прямой и плоскости
Общее уравнение прямой на плоскости: $Ax + By + C = 0$. Нормальное уравнение: $x \cos \alpha + y \sin \alpha - p = 0$, где $p$ — расстояние от начала координат до прямой, $\alpha$ — угол нормали к прямой с осью $Ox$.
Уравнение плоскости в пространстве: $Ax + By + Cz + D = 0$. Каноническое уравнение плоскости: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$, где $a, b, c$ — отрезки, отсекаемые плоскостью на осях.
¶Векторные формулы
Позиционный вектор точки $M$ в декартовой системе: $\vec{r} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$, где $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ — орты осей. Скалярное произведение двух векторов через координаты:
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$$
Длина вектора: $|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$.
¶Применение
Координаты используются в астрономии (эклиптические, галактические и видимые координаты небесных тел), геодезии (географические координаты — широта и долгота), физике (пространственно-временные координаты в теории относительности), компьютерной графике и робототехнике (кинематические цепи описывают положение звеньев манипулятора через координаты суставов). В вычислительной математике криволинейные координаты применяются для численного решения дифференциальных уравнений на сложных областях.
¶Источники
- Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа
- Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия
- Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона