Круглый шар в геометрии и технике¶

Круглый шар — обиходное и техническое обозначение тела вращения, все точки поверхности которого равноудалены от центра; в строгой математике такое тело называется шаром, а его поверхность — сферой. Прилагательное «круглый» в бытовой речи подчёркивает идеальную округлость формы, тогда как в геометрии «круг» и «шар» различаются: круг — плоская фигура, шар — объёмное тело. Словосочетание закрепилось в промышленной номенклатуре, где «круглый шар» обозначает конкретный вид изделия: мелющие тела, подшипниковые элементы, клапаны, поплавки, декоративные и спортивные снаряды.

¶Геометрическое определение

Шар радиуса R с центром в точке O — множество всех точек пространства, расстояние от которых до O не превышает R. Граница шара — сфера. Основные характеристики:

• объём: V = 4/3·πR³;
• площадь поверхности: S = 4πR²;
• диаметр: D = 2R.

Шар обладает наибольшим объёмом среди всех тел заданной площади поверхности, что определяет его распространённость в природе и технике. Любое плоское сечение шара — круг, а сечение, проходящее через центр, даёт круг наибольшего радиуса (большой круг).

¶История понятия

Представление о шаре как о совершеннейшем теле возникло в античности. Пифагорейцы считали сферу идеальной фигурой, а Платон приписывал шарообразную форму космосу. Архимед в трактате «О шаре и цилиндре» вывел формулы объёма и поверхности шара, доказав, что объём шара составляет две трети объёма описанного цилиндра; по преданию, он просил изобразить этот чертёж на своей гробнице. Евклид в «Началах» дал определение сферы как поверхности, образованной вращением полукруга вокруг диаметра. В Новое время теория шаровых поверхностей развивалась в сферической геометрии и тригонометрии, необходимых для астрономии и навигации.

¶Технические изделия

В промышленности термин применяется к конкретным деталям:

Мелющие шары — расходный материал горно-обогатительных комбинатов; их износ измеряется граммами на тонну переработанной руды. Подшипниковые шары изготовляют по ГОСТ с нормированной степенью точности: отклонение от сферичности может не превышать десятых долей микрометра. Шаровые краны получили массовое распространение в ЖКХ и нефтегазовой отрасли благодаря простоте и надёжности запирания потока поворотом на 90°.

¶Шар в природе и науке

Форма, близкая к шару, возникает при действии сил поверхностного натяжения и гравитации. Капли жидкости в невесомости, пузыри газа, планеты и звёзды стремятся к сферической форме. Земля — геоид, близкий к шару, сплюснутый у полюсов из-за вращения. В кристаллографии шаровыми моделями описывают плотнейшие упаковки атомов. В биологии шаровидную форму имеют споры, яйцеклетки, некоторые бактерии (кокки).

¶Применение в спорте и быту

Шар — основа множества игр: футбол, баскетбол, волейбол, бильярд, боулинг, гольф. Стандарты регламентируют диаметр, массу и давление: футбольный мяч — 68–70 см в окружности, баскетбольный — 75–78 см. Бильярдные шары изготавливают из фенольных смол, обеспечивающих упругий отскок. В архитектуре и дизайне шары используются как декоративные элементы — от садовых светильников до монументов, например Царь-пушка с ядрами или памятник шару в парковых ансамблях.

¶Математические обобщения

В многомерных пространствах аналог шара — гипершар; его объём при росте размерности сначала увеличивается, а затем стремится к нулю относительно описанного куба. В неевклидовых геометриях понятие сферы сохраняется, но её свойства меняются. В топологии двумерная сфера служит классическим примером односвязной поверхности. Шаровые функции применяются при решении уравнений математической физики в сферических координатах.

¶Критика термина

Строго говоря, выражение «круглый шар» тавтологично: шар по определению кругл в любом сечении, поэтому прилагательное избыточно. В научной литературе его избегают, используя слова «шар» или «сфера». Однако в производственных стандартах, прайс-листах и технических заданиях словосочетание устоялось и служит для отличия от шаров гранёных, эллипсоидных или сегментных изделий, например от шаров-мелющих цильпебсов цилиндрической формы.

Источники: Архимед, «О шаре и цилиндре»; Евклид, «Начала»; ГОСТ 7524-2015 «Шары мелющие стальные»; ГОСТ 3722-2014 «Подшипники. Шары»; справочник по элементарной математике М. Я. Выгодского.