Модальная логика возможности и необходимости¶

Модальная логика — раздел математической логики, изучающий высказывания о возможности, необходимости, допустимости и запрете. Термин «может ли быть» относится к области модальности: он выражает вопрос о том, возможно ли существование некоторого объекта, события или состояния при данных условиях. Модальные понятия формализуются в модальной логике с помощью операторов возможности (◊) и необходимости (□), введённых в работах Крипке, Льюиса и Карнапа в XX веке.

¶Философское содержание вопроса

Вопрос «может ли быть» имеет давнюю историю в философии. Платон в «Тимее» рассуждает о возможности космоса, Аристотель в «Метафизике» различает возможность (δύναμις) и действительность (ἐνέργεια). Средневековая схоластика, опираясь на Аристотеля, разработала учение о модусах: утверждение может быть истинным, ложным или возможным. Фома Аквинский в «Сумме теологии» рассматривает проблему возможности божественного бытия и возможности сотворённого мира.

В Новое время Лейбниц ввёл понятие возможных миров — множества всех непротиворечивых состояний вещей. Вопрос «может ли быть» в этой традиции сводится к вопросу о том, принадлежит ли данное состояние одному из возможных миров. Кант в «Критике чистого разума» различает логическую возможность (непротиворечивость) и реальную возможность (соответствие законам природы).

¶Модальная логика

Формальная модальная логика оперирует двумя базовыми операторами:

• ◊P — «возможно, что P» (P истинно в некотором возможном мире);
• □P — «необходимо, что P» (P истинно во всех возможных мирах).

Связь между ними определяется дуальностью: ◊P ≡ ¬□¬P. Вопрос «может ли быть P» формализуется как ◊P. Системы модальной логики различаются набором аксиом: система T (□P → P) описывает рефлексивные отношения доступности, система S4 добавляет транзитивность, система S5 — симметрию и транзитивность (эквивалентность миров).

Семантика Крипке (1959) трактует утверждение ◊P как истинность P в некотором мире, доступном из текущего. Вопрос «может ли быть P» при этом имеет конкретный смысл: существует ли мир, где P истинно.

¶Применение в математике и информатике

В математике модальная логика применяется в теории доказательств, теории вычислимости и логике программирования. В теории вычислимости вопрос «может ли быть» формулируется как вопрос о существовании: может ли машина Тьюринга остановиться на данном входе (проблема остановки), может ли существовать решение диофантового уравнения. Теорема Гёделя о неполноте показывает, что для ряда утверждений вопрос «может ли быть» не имеет решения внутри формальной системы.

В информатике модальная логика лежит в основе логики программ (логика Хинтикки), верификации программ и логики знаний в искусственном интеллекте. Оператор возможности используется при описании альтернативных исходов вычислений и поведения агентов.

¶Модальность в естественных науках

В физике вопрос «может ли быть» связан с проблемой допустимых состояний системы. Квантовая механика допускает суперпозицию состояний — состояние системы может быть одновременно в нескольких базисных состояниях до измерения. В теории относительности вопрос о возможности события формулируется через световой конус: событие может быть причинно связано с другим, если оно лежит в его световом конусе.

В биологии и эволюционной теории вопрос «может ли быть» связан с возможностью возникновения признака: может ли данный фенотип появиться в результате мутации и отбора. В космологии — с возможностью существования иных вселенных (многомировая интерпретация).

¶Логика и риторика

В естественном языке конструкция «может ли быть» выполняет несколько функций: вопрос о факте («может ли быть, что он пришёл?»), выражение сомнения («может ли быть, что это правда?»), предположение («может быть, он опоздал»). Логически вопрос о возможности не тождествен вопросу о вероятности: утверждение «может быть» не означает «вероятно». Это различие разработано в теории вероятностей и в модальной эпистемической логике, где различают знание (□P) и веру (B P).

¶История термина

Термин «модальность» происходит от латинского modus — «способ, образ». В средневековой логике модусы делились на ассерторические (утверждения о факте), алеторические (о возможности и необходимости) и аподиктические (о доказуемости). Кант ввёл различение трансцендентальной модальности (возможность опыта) и логической модальности. В XX веке модальная логика получила формальное развитие в работах Льюиса (1918), Карнапа (1947), Крипке (1959, 1963) и Хинтикки.

¶Источники

• Крипке С. Семантика модальных логик // Логические исследования. — 1959.
• Карнап Р. Meaning and Necessity. — Chicago, 1947.
• Льюис К. И. A Survey of Symbolic Logic. — Berkeley, 1918.
• Голдблатт Р. Логики: модальность и метаматематика. — М.: Мир, 1982.
• Фома Аквинский. Сумма теологии.
• Лейбниц Г. В. Монадология.