Ноль — число, натуральное число, целые числа¶

Ноль — число, обозначаемое цифрой 0, занимающее особое место в математике: оно является одновременно натуральным числом (в современной российской школьной традиции), первым целым числом, действительным и комплексным числом. Ноль — это положительное или отрицательное число: он не имеет знака и служит границей между положительными и отрицательными числами на числовой прямой.

¶Происхождение и история

Появление нуля как числа, а не просто заполнителя пустого места, связано с индийской математикой. Наиболее ранние свидетельства использования нуля в вычислениях относятся к V—VII векам н. э. Индийский математик Брахмагупта в труде «Брахмасфутасиддханта» (628 год) сформулировал правила арифметических операций с нулём: сложение с нулём даёт то же число, умножение на ноль даёт ноль, деление на ноль (на ноль) не определено.

Позднее, через арабских учёных (Аль-Хорезми, IX век), знание о нуле и десятичной позиционной системе счисления проникло в Европу. В Европе цифра нуля получила распространение благодаря работам итальянского математика Фибоначчи («Liber Abaci», 1202 год). Долгое время ноль встречал сопротивление: в некоторых юридических и церковных кругах он считался «дьявольской цифрой».

¶Ноль в математике

¶Ноль как натуральное число

В современной российской школьной программе (с 2011 года) ноль относится к натуральным числам: натуральный ряд начинается с нуля: 0, 1, 2, 3, … . В ряде зарубежных традиций и в некоторых университетских курсах к натуральным числам относят только 1, 2, 3, … , а ноль выделяют в отдельную категорию «целых неотрицательных чисел».

¶Ноль как целое число

Ноль — первое целое число: множество целых чисел получается расширением натуральных чисел нулём и отрицательными числами. Ноль обладает свойством нейтрального элемента относительно сложения: для любого числа a справедливо a + 0 = a.

¶Ноль и деление

Деление на ноль не определено в арифметике действительных и комплексных чисел. Если бы частное a / 0 существовало, это привело бы к противоречиям: например, из равенства 0 · x = a для ненулевого a следовало бы, что любое число x удовлетворяет уравнению, что противоречит единственности решения. В математическом анализе, напротив, рассматривается предел вида a / x при x → 0, который может существовать (например, при a = 0 в неопределённости 0/0) и является предметом вычисления по правилам Лопиталя.

¶Ноль в теории множеств

Число кардинальности пустого множества равна нулю. В теории множеств ноль часто определяется как множество, не содержащее элементов, что позволяет строить на его основе натуральные числа (система фон Неймана).

¶Ноль в алгебре

В кольцах и полях ноль — это аддитивный нейтральный элемент. В теории колец нуль кольца — это элемент, поглощающий произведение: 0 · a = 0 для любого a кольца. В линейной алгебре нулевой вектор — это вектор, все координаты которого равны нулю.

¶Ноль в информатике

В компьютерных системах ноль играет ключевую роль. В системах счисления с основанием 2 (двоичная система) ноль — это один из двух цифр, используемых для представления данных. В языках программирования целочисленный тип данных включает ноль, а операции с нулём (деление на ноль, возведение нуля в нулевую степень) являются типичными источниками ошибок. В IEEE 754 для представления чисел с плавающей запятой предусмотрены положительный и отрицательный ноль (+0 и −0), которые в большинстве вычислений ведут себя одинаково, но различаются при некоторых операциях (например, при делении на ноль).

¶Ноль в философии и культуре

Концепция «ничто» или «пустоты» существовала в философии Древней Греции (Анаксимандр — апейрон), но связь этой идеи с числом ноль появилась позже, в индийской философии. В буддизме и индуизме идея шуньяты (пустоты) оказала влияние на формирование математического понятия нуля.

В повседневной культуре ноль символизирует начало, пустоту или провал. В спортивной нумерации футболистов номер 0 использовался редко; в некоторых странах он запрещён правилами.

¶Интересные факты

• Сумма всех натуральных чисел (в регуляризованном смысле, по Рамануджану) формально равна −1/12, что иллюстрирует неочевидность свойств нуля и бесконечности.
• В японской культуре существует «цифра кинтаро», обозначающая ноль в некоторых игровых контекстах.
• Ноль — единственное число, которое не является ни положительным, ни отрицательным, но при этом входит в множество действительных чисел.

¶Источники

• Брахмагупта. «Брахмасфутасиддханта», 628 год.
• Фибоначчи. «Liber Abaci», 1202 год.
• А. И. Маркушевич. «Краткий очерк истории математики».
• Н. Н. Виленкин, И. Я. Башмаков. «Математика. 5 класс» (учебник для школ России).
• В. И. Арнольд. «Математическое понятие».