Правильная призма — геометрическое тело¶

Правильная призма — это многогранник, у которого основания являются правильными многоугольниками, а боковые рёбра перпендикулярны плоскости оснований. Правильная призма относится к числу призм — многогранников, состоящих из двух равных и параллельных граней-оснований и боковых граней, являющихся параллелограммами. Если боковые рёбра перпендикулярны основанию, призма называется прямой, поэтому правильная призма всегда является прямой.

¶Основные свойства

Правильная призма обладает рядом характерных признаков:

• Основания — правильные многоугольники (треугольник, квадрат, пятиугольник и т. д.).
• Боковые грани — прямоугольники.
• Все боковые рёбра равны между собой и перпендикулярны плоскости оснований.
• Основания расположены в параллельных плоскостях и равны друг другу.
• Осевая симметрия: прямая, соединяющая центры оснований, является осью симметрии призмы.

В зависимости от числа сторон основания правильные призмы делятся на виды:

Для любой правильной n-угольной призмы число вершин равно 2n, число рёбер — 3n, число граней — n + 2. Эти соотношения согласуются с формулой Эйлера для многогранников: В − Р + Г = 2.

¶Площадь поверхности

Площадь полной поверхности правильной призмы складывается из площади двух оснований и площади боковой поверхности. Если a — сторона основания, n — число сторон основания, h — высота призмы, то:

• Площадь основания: Sоснов = (n · a²) / (4 · tg(π/n)).
• Площадь боковой поверхности: Sбок = n · a · h (периметр основания, умноженный на высоту).
• Полная площадь поверхности: Sполн = 2 · Sоснов + Sбок.

Для правильной треугольной призмы площадь основания равна (√3 / 4) · a², для правильной шестиугольной призмы — (3√3 / 2) · a².

¶Объём

Объём любой призмы, в том числе правильной, определяется произведением площади основания на высоту:

V = Sоснов · h.

Эта формула справедлива для всех призм, поскольку призма представляет собой множество параллельных сечений, равных основанию, расположенных на высоте h.

¶Сечения и симметрия

Сечения правильной призмы плоскостями обладают особенностями:

• Сечение, параллельное основанию, — правильный многоугольник, равный основанию.
• Сечение плоскостью, проходящей через ось симметрии и вершины основания, — прямоугольник (для чётного n) или равнобедренный треугольник, соединяющий противоположные вершины (при нечётном числе сторон сечение через противоположные вершины не проходит).
• Диагональное сечение (через две не принадлежащие одному основанию вершины) — прямоугольник, одна сторона которого равна высоте призмы, а другая — диагонали основания.

Правильная призма имеет несколько плоскостей симметрии: плоскости, проходящие через ось и середины противоположных сторон основания, а также (при нечётном n) плоскости, проходящие через ось и вершины основания.

¶Частные случаи

Наиболее известные частные случаи правильных призм:

Куб — правильная четырёхугольная призма, у которой высота равна стороне основания. Куб является одним из пяти правильных многогранников (тел Платона) и единственным правильным многогранником среди призм.

Квадратная призма — правильная четырёхугольная призма с высотой, отличной от стороны основания. От куба отличается только соотношением высоты и стороны.

Правильная шестиугольная призма встречается в природе: кристаллы льда, графита и некоторых минералов образуют гексагональные структуры. Ячейки сот также представляют собой правильные шестиугольные призмы.

¶Применение

Правильные призмы используются в качестве элементов архитектурных сооружений (колонны с шести- или восьмиугольным сечением), в кристаллографии для описания форм кристаллов, в машиностроении и конструировании деталей. Шестиугольные призматические структуры применяются в строительстве как облегчённые, но прочные элементы (сотовые панели).

¶Интересные факты

• Правильная призма с основанием-правильным n-угольником при n → ∞ переходит в цилиндр.
• Среди всех призм с заданным основанием и высотой правильная имеет наименьшую площадь боковой поверхности при заданном объёме.
• Правильные призмы входят в число многогранников, которые могут заполнять пространство без зазоров (тесселляция), например, кубы и шестиугольные призмы.

¶Источники

• Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия: учебник для 7—11 классов.
• Погорелов А. В. Геометрия: учебное пособие для школ.
• Рыжик В. И. Справочник по элементарной математике.