Пределы формулы¶
Пределы формулы — понятие математического анализа, обозначающее предельные значения, к которым стремится выражение (формула) при определённых условиях: при стремлении переменной к конечному числу, к бесконечности или при стремлении аргумента к граничной точке области определения. Понятие предела является фундаментом математического анализа и лежит в основе определений непрерывности, производной и интеграла.
¶Определение предела
Пусть функция $f(x)$ определена в проколотой окрестности точки $a$ (кроме, возможно, самой точки $a$). Говорят, что предел функции $f(x)$ при $x \to a$ равен числу $A$ и записывают $\lim_{x \to a} f(x) = A$, если для любого $\varepsilon > 0$ существует $\delta > 0$ такое, что из $0 < |x - a| < \delta$ следует $|f(x) - A| < \varepsilon$ (определение по Коши — Гейне).
Различают односторонние пределы: правый предел $\lim_{x \to a+0} f(x)$ и левый предел $\lim_{x \to a-0} f(x)$. Двусторонний предел существует тогда и только тогда, когда существуют оба односторонних предела и равны между собой.
¶Основные пределы
К числу фундаментальных пределов, используемых при вычислении сложных выражений, относятся:
| Предел | Значение |
|---|---|
| $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ | 1 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{tg} x}{x}$ | 1 |
| $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ | $e$ |
| $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$ | 1 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x}$ | 1 |
| $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n}$ | 1 |
Число $e \approx 2{,}71828$ — основание натурального логарифма, определяемое именно через предел.
¶Правила вычисления пределов
При вычислении пределов суммы, разности, произведения и частного используются стандартные правила:
- Предел суммы равен сумме пределов: $\lim (f + g) = \lim f + \lim g$ (при существовании обоих пределов).
- Предел произведения равен произведению пределов.
- Предел частного равен частному пределов, если предел знаменателя не равен нулю.
- Предел степенной функции: $\lim x^n = a^n$ при $x \to a$ и целом $n$.
¶Неопределённые выражения
При вычислении пределов часто возникают неопределённые выражения — случаи, когда вид предела не определяется непосредственно по правилам. Основные типы:
- $\frac{0}{0}$ — неопределённость нулевой степени;
- $\frac{\infty}{\infty}$ — неопределённость бесконечно большой степени;
- $\infty - \infty$;
- $0 \cdot \infty$;
- $1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$.
Для их разрешения применяются методы: разложение на множители, умножение на сопряжённое выражение, использование замены переменной, применение формулы Лопиталя, разложение функции в ряд Тейлора.
¶Формула Лопиталя
Формула Лопиталя позволяет вычислять пределы неопределённых видов $\frac{0}{0}$ и $\frac{\infty}{\infty}$: если предел отношения производных $\lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$ существует (конечен или бесконечен), то ему равен и предел отношения исходных функций $\lim \frac{f(x)}{g(x)}$. Метод был впервые опубликован Гийомом де Лопиталем в 1696 году в трактате «Анализ бесконечно малых для понимания кривых».
¶Пределы последовательностей
Последовательность $\{a_n\}$ имеет предел $A$, если для любого $\varepsilon > 0$ существует номер $N$, начиная с которого все члены последовательности удовлетворяют неравенству $|a_n - A| < \varepsilon$. Сходимость последовательности — центральное понятие математического анализа, тесно связанное с пределом функции: предел функции при $x \to \infty$ определяется через пределы последовательностей.
¶Свойства пределов
- Если предел функции существует и равен $A$, то функция ограничена в окрестности рассматриваемой точки.
- Теорема о двух милиционерах (Коши): если $\lim_{x \to a} f(x) = A$ и $\lim_{x \to a} g(x) = B$, причём $f(x) \le g(x)$ в окрестности точки $a$, то $A \le B$.
- При замене переменной предел сохраняется: если $f$ непрерывна в точке $b$ и $\lim_{x \to a} \varphi(x) = b$, то $\lim_{x \to a} f(\varphi(x)) = f(b)$.
¶Применение
Понятие предела формулы применяется при вычислении производных (определение производной как предела отношения приращений функции к приращению аргумента), при построении интегралов (предел суммы Римана), в теории рядов, в дифференциальных уравнениях, в физике и инженерных расчётах — например, при определении мгновенной скорости движения тела.
Источники:
- Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа
- Фихтенгольц Г. М. Курс математического анализа
- Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу
- Лопиталь Г. де. Анализ бесконечно малых для понимания кривых (1696)