Треугольник: геометрическая фигура¶

Треугольник — геометрическая фигура, образованная тремя точками, не лежащими на одной прямой, и тремя отрезками, соединяющими их попарно. Треугольник относится к простейшим многоугольникам: он является наименьшим по числу сторон выпуклым многоугольником и служит базовой фигурой евклидовой геометрии. Точки, образующие треугольник, называются его вершинами, а отрезки — сторонами. Треугольник обозначают по трём вершинам, например, треугольник ABC, и записывают символом △.

¶Основные понятия

Каждый треугольник имеет три стороны и три угла. Сумма внутренних углов треугольника в евклидовой геометрии всегда равна 180°. Сторона, лежащая напротив угла, называется противолежащей этому углу; сторона, прилежащая к углу, — прилежащей. Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины на противоположную сторону (или её продолжение). Медиана — отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны. Биссектриса угла — отрезок, делящий угол пополам и доходящий до противоположной стороны.

Точка пересечения всех трёх высот треугольника называется ортоцентром, точка пересечения медиан — центром тяжести (центроидом), точка пересечения биссектрис — центром вписанной окружности (инцентром), а точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам — центром описанной окружности (центром циркуля). У равностороннего треугольника все четыре центра совпадают.

¶Классификация

Треугольники классифицируют по соотношению сторон и по величине углов.

По сторонам:

• Равносторонний (правильный) — все три стороны равны, все углы равны 60°.
• Равнобедренный — две стороны равны, углы при основании равны.
• Разносторонний — все стороны различны.

По углам:

• Остроугольный — все углы меньше 90°.
• Прямоугольный — один угол равен 90°.
• Тупоугольный — один угол больше 90°.

¶Свойства и теоремы

Теорема Пифагора относится к прямоугольному треугольнику: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Теорема косинусов обобщает это соотношение для произвольного треугольника: c² = a² + b² − 2ab·cos C, где a, b — стороны, C — угол между ними, c — противолежащая сторона. Теорема синусов устанавливает равенство отношения стороны к синусу противоположного угла для всех трёх пар: a/sin A = b/sin B = c/sin C.

Формула площади треугольника: S = ½·a·h, где a — основание, h — высота. Через две стороны и угол между ними: S = ½·a·b·sin C. По формуле Герона площадь вычисляется через полупериметр p = (a+b+c)/2: S = √(p(p−a)(p−b)(p−c)). Для прямоугольного треугольника площадь равна половине произведения катетов.

Неравенство треугольника: любая сторона меньше суммы двух других и больше их разности. Следствие — из трёх отрезков, удовлетворяющих этому условию, можно построить треугольник.

¶Треугольник в стереометрии

Плоский треугольник является гранью многих многогранников. Тетраэдр — простейший многогранник — состоит из четырёх треугольных граней. Пирамида с n-угольным основанием содержит n треугольных боковых граней. Правильные многогранники Платона (тетраэдр, октаэдр, икосаэдр) полностью состоят из равносторонних треугольников. Площадь поверхности пирамиды и конуса вычисляется через площади треугольных граней и сектора.

¶Треугольник в прикладной математике и технике

Треугольник — жёсткая конструкция: в отличие от четырёхугольника, он не деформируется без изменения длины сторон. Это свойство лежит в основе ферм и арок, треугольные конструкции применяются в мостах, крышах, кранах и опорах ЛЭП. В триангуляции любая плоская фигура разбивается на треугольники, что используется в компьютерной графике (полигональные модели), геодезии и методах конечных элементов.

В навигации и геодезии метод триангуляции позволяет определять положение точек по измеренным углам. Треугольник Паскаля и треугольник Пифагора — числовые конструкции, связанные с биномиальными коэффициентами и свойствами чисел. Треугольник Сороса — геометрический объект, изучаемый в теории чисел.

¶Треугольник в культуре и символике

Треугольник — один из древнейших геометрических символов. В египетской архитектуре пирамиды имеют форму треугольных граней. В христианской символике треугольник с вписанным оком символизирует Троицу. В физике треугольник сил применяется при сложении векторов. В музыке нотный стан и аккорды описываются через треугольные конструкции. В алхимии и эзотерике треугольник, обращённый вершиной вверх, символизирует огонь, вниз — воду.

¶История

Треугольники изучались в Древней Греции. Евклид в «Началах» (около 300 года до н. э.) сформулировал основные свойства треугольников, включая теорему о сумме углов и признаки равенства треугольников. Пифагорова теорема была известна раньше — вавилонские и египетские математики использовали её практические следствия. В России треугольник как учебный предмет геометрии преподавался в духовных школах и университетах с XVIII века.

Источники:

• Евклид. Начала
• И. М. Виноградов (ред.). Математическая энциклопедия
• А. Н. Колмогоров. Математика, её содержание, методы и значение
• С. А. Степин. Геометрия: учебное пособие