Тривиальность — понятие в логике и философии¶

Тривиальность (от лат. trivialis — «обыкновенный, простой, общеизвестный», буквально «находящийся на трёхпутном перекрёстке» — то есть доступный всем) — свойство утверждения, понятия или решения, которое является очевидным, само собой разумеющимся, не содержащим существенной информации или не представляющим интеллектуального труда. Тривиальное утверждение — это утверждение, которое либо истинно в силу собственной логической формы, либо настолько очевидно, что его доказательство или объяснение излишне.

¶Тривиальность в логике и математике

В формальной логике и математике тривиальность имеет строго определённое значение. Тривиальным называется утверждение, истинность которого не требует доказательства, потому что она следует из определений, аксиом или логических законов.

Примеры тривиальных утверждений:

• «Каждое число равно самому себе» (рефлексивность равенства);
• «Каждое число чётно или нечётно» (исчерпывающий перечень);
• «Если A истинно, то A истинно» (закон тождества);
• «Любое множество содержит само себя в качестве подмножества».

Тривиальными называют и доказательства, которые опираются на очевидные шаги и не содержат содержательных идей. В математической практике фраза «тривиально» иногда служит предметом критики: если доказательство объявлено тривиальным, но при этом содержит неочевидный шаг, возникает «тривиальная ошибка» — логический пробел, замаскированный под очевидность.

Противоположность тривиальному — нетривиальное (или нетривиальный результат). В математике нетривиальное утверждение — такое, которое может быть и ложным: например, «существует простое число между любыми двумя последовательными натуральными числами больше единицы» — ложно, но нетривиально по форме. Тривиально-истинные (таутологии) утверждения, напротив, не могут быть ложными ни при каком истолковании переменных.

¶Тривиальность в философии

В философии тривиальность связана с проблемой познания очевидного. Если утверждение настолько элементарно, что его истинность не вызывает сомнений, оно может рассматриваться как либо не несущее познавательной ценности, либо, наоборот, как фундаментальное основание знания.

Рационалистическая традиция (Декарт, Лейбниц) искала тривиальные по форме, но фундаментальные по содержанию истины — «первые истины», из которых выводится всё остальное знание. Лейбниц, в частности, сформулировал принцип достаточного основания: истинно всё, что имеет достаточное основание; это утверждение тривиально по форме, но служит стержнем всей его метафизики.

В аналитической философии XX века тривиальность стала предметом специального анализа. Людвиг Витгенштейн в «Логико-философском трактате» отмечал, что логические истины тривиальны: они не сообщают ничего о мире, а лишь отражают «каркас» нашего языка и мышления. Это направление мысли развивалось в работах по философии математики (например, в обсуждении статуса логических законов).

¶Тривиальность в обыденном языке

В повседневной речи «тривиально» означает «просто», «очевидно», «банально». Тривиальное объяснение — это объяснение, которое не добавляет ничего нового к тому, что и так понятно. Тривиальное решение проблемы — решение, лежащее на поверхности, не требующее особых усилий для нахождения.

Слово «тривиальный» в обыденном употреблении часто несёт оттенок пренебрежения: тривиальная задача — задача, не представляющая интереса; тривиальное замечание — замечание, не стоящего внимания. Однако в строгом смысле тривиальность — нейтральное свойство, а не оценка сложности.

¶Тривиальность и нетривиальность

Разграничение тривиального и нетривиального имеет методологическое значение. Научное открытие состоит обычно в том, чтобы из нетривиального вопроса получить нетривиальный ответ. Тривиальный ответ на нетривиальный вопрос — разочарование; нетривиальный ответ на тривиальный вопрос — признак того, что вопрос был сформулирован неверно.

В теории сложности вычислений тривиальными называют задачи, решаемые за очевидное время (например, линейное или константное), и тривиальные алгоритмы — работающие грубой силой без использования структуры задачи. Построение нетривиального (полиномиального) алгоритма для задачи, ранее решавшейся только перебором, считается серьёзным достижением.

¶Происхождение термина

Латинское trivialis буквально означает «относящийся к тривию» — месту слияния трёх дорог (tres viae), где встречались все прохожие. Общеизвестное, доступное каждому знание, передававшееся в таких местах, стало называться тривиальным. В Средние века «тривиум» — совокупность трёх предметов начального образования (грамматика, риторика, диалектика) — составлял первую ступень университетского обучения, закрепив за словом оттенок «элементарного».

¶История

• Лейбниц Г. В. Опыты теодицеи о благости Бога, свободе человека и начале зла. 1710.
• Витгенштейн Л. Логико-философский трактат. 1921.
• Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. 1956.
• Кутузов В. И. Логика: учебное пособие. М., 2000.