Цилиндр: геометрическое тело и его виды¶

Цилиндр — это геометрическое тело, которое образуется вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. В пространстве цилиндр состоит из двух параллельных и равных круглых оснований и боковой поверхности, которая соединяет их. Термин широко используется в геометрии, машиностроении, архитектуре и повседневной жизни.

¶Как выглядит цилиндр

Визуально цилиндр представляет собой трёхмерную фигуру с двумя круглыми гранями сверху и снизу, соединёнными изогнутой боковой поверхностью. Если смотреть на цилиндр сбоку, его силуэт напоминает прямоугольник. При взгляде сверху или снизу виден круг. Именно поэтому на чертежах цилиндр часто изображают в виде прямоугольника с овальными (эллиптическими) гранями на торцах — так передаётся трёхмерная перспектива.

Ключевые визуальные признаки цилиндра:

• два одинаковых круглых основания, расположенных параллельно друг другу;
• боковая поверхность, которая при развёртке превращается в прямоугольник;
• отсутствие острых рёбер на боковой поверхности (кроме линий стыка с основаниями);
• симметрия относительно прямой, проходящей через центры оснований.

¶Виды цилиндров

¶Прямой и наклонный цилиндр

Прямой цилиндр — ось, соединяющая центры оснований, перпендикулярна плоскости оснований. Это самый распространённый вид: примеры — банка, стакан, батарейка.

Наклонный (косой) цилиндр — ось не перпендикулярна основаниям. Такие фигуры встречаются реже, но встречаются в инженерных задачах.

¶Правильный и неправильный цилиндр

Правильный цилиндр имеет основания в виде правильных многоугольников (например, шестиугольника). Неправильный цилиндр — основания произвольной формы.

¶Круговой цилиндр

Наиболее известный тип: основания — окружности. Именно круговой цилиндр подразумевается под словом «цилиндр», если не указано иное.

¶Математические свойства

Для кругового цилиндра характерны следующие формулы:

• Объём: V = πR²h, где R — радиус основания, h — высота.
• Площадь полной поверхности: S = 2πR(R + h).
• Площадь боковой поверхности: Sбок = 2πRh.

Развёртка боковой поверхности кругового цилиндра — прямоугольник со сторонами 2πR и h. Это свойство важно при конструировании: из листового материала цилиндрические детали изготавливают сгибанием.

¶Цилиндр в природе и технике

Цилиндрическая форма встречается повсеместно:

• Природа: стволы деревьев, капли дождя в свободном падении (капли имеют форму, близкую к сфере, но при движении сплющиваются), трубчатые кости, стебли растений.
• Быт: банки, стаканы, свечи, батарейки, рулоны бумаги, катушки ниток, трубы.
• Техника: цилиндры двигателей внутреннего сгорания, гидроцилиндры, валы, подшипники, снаряды.
• Архитектура: колонны, башни цилиндрической формы, резервуары.

Цилиндрическая форма обладает рядом практических преимуществ: она обеспечивает равномерное распределение внутреннего давления (поэтому газовые баллоны и трубы имеют цилиндрическую форму), хорошо переносит осевые нагрузки и удобна для изготовления прокатом и штамповкой.

¶Цилиндр в черчении и геометрии

В начертательной геометрии цилиндр относится к вращательным поверхностям. Его проекции на координатные плоскости выглядят так:

• на плоскости, параллельной основанию, — круг;
• на плоскости, перпендикулярной основанию, — прямоугольник.

Для построения развёртки цилиндра используют его высоту и длину окружности основания. Знание развёртки применяется в листогибочном производстве, при изготовлении корпусных деталей, консервных банок, воздуховодов.

¶Историческая справка

Свойства цилиндра изучались ещё в Древней Греции. Книга XII «Начал» Евклида (IV век до н. э.) содержит теоремы о соотношении объёмов цилиндра, конуса и шара: если у них одинаковые основания и высота, то их объёмы относятся как 3 : 1 : 2. Архимед (III век до н. э.) доказал, что объём шара равен двум третям объёма описанного цилиндра, и попросил изобразить цилиндр и шар на своей надгробной плите.

¶Интересные факты

• Развёртка боковой поверхности цилиндра — прямоугольник, а конуса — сектор круга: это различие часто используют при решении задач по стереометрии.
• Цилиндрические батарейки формата AA и AAA — самые распространённые элементы питания в мире.
• В компьютерной графике цилиндр — один из примитивов, наряду с кубом, сферой и плоскостью, из которых собираются сложные модели.

Источники:

• Евклид. Начала, книга XII
• Архимед. О шаре и цилиндре
• Справочник по начертательной геометрии
• Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона