Умножение как арифметическая операция¶

Умножение — одна из четырёх основных арифметических операций (наряду со сложением, вычитанием и делением), представляющая собой ускоренный способ сложения нескольких одинаковых чисел. Результат операции называется произведением, а исходные числа — множителями (или сомножителями). Записывается умножение с помощью знака «×» (крестик), точки на уровне середины строки или без знака между буквенно-цифровыми обозначениями: 3 × 4 = 12, 3 · 4 = 12, 3a · 2b = 6ab.

¶История возникновения

Потребность в умножении возникла задолго до появления формальной математики — при обмене товаром, расчёте площадей полей и объёмов зерна. Древние египтяне ещё около 1650 года до н. э. (папирус Ринда) использовали метод последовательного удвоения и сложения: любое число разбивалось на степени двойки, а соответствующие слагаемые суммировались. В Древней Греции для умножения применялась так называемая двойная таблица — приём, связанный с именем Никомаха Геразского и описанный в трудах Дионисия Гортинского.

В Древней Индии и Халифате Аббасидов в IX–XII веках получила распространение сетчатая (косая) таблица — компактная запись, при которой цифры множимого выписываются по диагонали, а произведения цифр складываются по столбикам. Этот метод был описан в трудах арабского математика аль-Хорезми и позже попал в Европу. В XVI–XVII веках с распространением печатных книг таблицы умножения стали печатать в привычном виде, а в 1631 году английский математик Уильям Отред ввёл знак «×», и почти одновременно Готфрид Лейбниц предложил точку «·» как знак умножения.

¶Свойства операции

Умножение обладает рядом важных свойств, отличающих его от сложения:

Коммутативность и ассоциативность означают, что при умножении нескольких чисел порядок и группировка множителей не влияют на результат. Дистрибутивность позволяет «раскрывать скобки» и лежит в основе всех методов письменного умножения. Следствие из дистрибутивности — правило знаков: произведение двух чисел одного знака положительно, разных знаков — отрицательно.

¶Способы умножения

¶Письменное умножение многозначных чисел

В современной арифметике принято столбиком умножать многозначные числа поэтапно: каждый разряд второго множителя умножается на первый множитель, результаты сдвигаются и складываются. Основание метода — дистрибутивность: 23 × 14 = 23 × (10 + 4) = 230 + 92 = 322.

¶Умножение в системах счисления

Алгоритм столбиком работает в любой позиционной системе счисления; в двоичной системе умножение особенно просто, так как таблица произведений цифр содержит только нули и единицы, а умножение на два сводится к сдвигу.

¶Круговая (модулярная) арифметика

При умножении по модулю n результат — остаток от деления произведения на n. Эта операция лежит в основе современной криптографии, в частности алгоритма RSA.

¶Расширение понятия

¶Умножение дробей и отрицательных чисел

Дроби умножаются попарно: числители между собой, знаменатели между собой. Для отрицательных чисел действует правило знаков, приведённое выше.

¶Умножение матриц

Умножение матриц определяется иначе, чем произведение чисел: элемент результирующей матрицы на пересечении i-й строки и j-го столбца равен сумме произведений соответствующих элементов i-й строки первого множителя и j-го столбца второго. Для определения операции ширина первой матрицы должна совпадать с высотой второй. Коммутативность при этом, как правило, не выполняется: AB ≠ BA.

¶Векторное произведение и тензорное умножение

В векторной алгебре определено векторное произведение двух векторов, дающее ортогональный третий вектор. В тензорном исчислении умножение обобщается на тензоры произвольного ранга.

¶Умножение в информатике

Алгоритмы быстрого умножения больших чисел активно развиваются с 1960-х годов. Быстрое преобразование Фурье позволяет перемножать n-значные числа примерно за O(n log n · log log n) операций, что существенно быстрее школьного алгоритма O(n²). Эти алгоритмы критически важны для криптографии с открытым ключом, где требуется умножение чисел с сотнями и тысячами разрядов. Рекорды по перемножению очень больших целых чисел регулярно обновляются: в 2020 году рекорд составлял более 240 миллионов разрядов.

¶Умножение в школьном курсе

В начальной школе умножение вводится как «краткое сложение» и таблица умножения на 2–9 заучивается наизусть. Таблица умножения — предмет культурного феномена: в разных странах существуют стихи-мнемонические формулы. В России распространена рифмованная таблица, приписываемая Льву Толстому (хотя авторство не подтверждено), с фразами вроде «два на два — четыре».

¶Интересные факты

• Умножение на 9 имеет простой пальцевый метод: пальцы обеих рук поднимаются, позиция сложенного пальда делит число на десятки и единицы.
• Коммутативность умножения доказывается не тривиально: в кольцах матриц и кватернионах коммутативность не выполняется.
• Самое короткое математическое доказательство в истории — доказательство коммутативности умножения естественных чисел (Коннорс, 2012, 2 байта в языке Brainfuck).

¶Источники

• Виленкин Н. Я. «Арифметика и начала алгебры»
• Клайн М. «Математика. Поиск истины»
• Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона
• История математики: учебное пособие под ред. А. П. Юшкевича