Уравнивание геодезических сетей: методы и этапы¶

Уравнивание геодезических сетей — это совокупность математических процедур, направленных на согласование измеренных в полевых условиях величин (углов, длин сторон, превышений, приращений координат) с геометрическими условиями сети и получение наиболее достоверных координат пунктов, а также оценку точности этих координат. Уравнивание является завершающим этапом обработки геодезических измерений, поскольку избыточные измерения всегда содержат случайные и систематические ошибки, приводящие к геометрическим невязкам.

¶Сущность и необходимость уравнивания

В любой геодезической сети количество измерений превышает минимально необходимое для определения положения пунктов. Это избыточность создаёт условия для контроля измерений и повышения надёжности результата, но одновременно порождает противоречия: сумма углов в треугольнике не равна 180°, сумма приращений координат по замкнутому ходу не равна нулю. Задача уравнивания — распределить обнаруженные невязки по всем измерениям в соответствии с их весами (точностью) таким образом, чтобы удовлетворить геометрические условия сети.

Основные цели уравнивания:

• устранение невязок и приведение измерений к согласованной системе;
• получение наиболее вероятных (оптимальных) значений координат;
• вычисление характеристик точности (средних квадратических ошибок) как измерений, так и уравненных величин.

¶Классификация методов уравнивания

По математическому аппарату различают две основные группы методов: строгие (коррелатный и параметрический) и приближённые (различные упрощённые способы, ныне практически вышедшие из употребления).

¶Коррелатный метод

Коррелатный метод (метод условных измерений) основан на введении дополнительных неизвестных — коррелат, соответствующих числу избыточных измерений. Уравнивание выполняется при условии соблюдения геометрических связей (условий фигур, горизонтов, полюсов). Число условных уравнений равно числу избыточных измерений. Метод удобен для сетей с большим числом измерений и относительно небольшим числом определяемых пунктов, однако с ростом сложности сети возрастает трудоёмкость составления условных уравнений.

¶Параметрический метод

Параметрический метод (метод измерения) за неизвестные принимает непосредственно искомые величины — координаты определяемых пунктов (или их поправки). Для каждого измерения составляется уравнение поправок, связывающее измеренную величину с параметрами. Решение системы нормальных уравнений даёт поправки к приближённым значениям координат. Метод универсален, легко алгоритмизируется и применяется в большинстве современных программных комплексов (например, CREDO, Trimble Business Center). Он позволяет обрабатывать сети любой сложности, включая комбинированные (спутниковые и наземные измерения).

¶Приближённые методы

К приближённым относятся способ полигонов профессора В. В. Попова, способ последовательных приближений и другие. Они использовались до широкого внедрения ЭВМ для ручного счёта. В настоящее время применяются редко, главным образом в учебных целях или для предварительной оценки.

¶Этапы уравнивания

Процесс уравнивания независимо от выбранного метода включает несколько последовательных стадий.

1. Подготовка исходных данных. Сбор результатов полевых измерений, их проверка, введение поправок (за наклон, температуру, редукции), формирование списка исходных (твёрдых) пунктов с известными координатами.
2. Предварительная обработка. Вычисление приближённых координат определяемых пунктов (например, по невязкам ходов), оценка грубых ошибок и отбраковка аномальных измерений.
3. Составление математической модели. Для коррелатного метода — построение схемы условных уравнений; для параметрического — формирование уравнений поправок и вычисление коэффициентов.
4. Формирование и решение нормальных уравнений. Составление системы линейных уравнений, её решение (методом Гаусса, квадратного корня и др.) с получением поправок к измеренным величинам или к координатам.
5. Вычисление уравненных значений. Получение окончательных координат пунктов, уравненных углов, длин и превышений.
6. Оценка точности. Вычисление средней квадратической ошибки единицы веса, ошибок уравненных элементов, построение ковариационных матриц. По результатам оценки делается вывод о пригодности сети для решения поставленных задач.

¶Особенности уравнивания современных сетей

С развитием спутниковых технологий (ГНСС) уравнивание приобрело новые черты. Спутниковые измерения обрабатываются в трёхмерном пространстве, что требует учёта эллипсоидальной высоты и параметров геоида. Широко применяется совместное уравнивание разнородных измерений (спутниковых, тахеометрических, нивелирных) в единой модели, что реализуется методом наименьших квадратов с весовыми коэффициентами. Для больших государственных сетей используется уравнивание по частям с последующим сшиванием блоков.

¶Значение

Уравнивание обеспечивает единообразие и высокую точность координатной основы, что необходимо для картографирования, кадастра, строительства, навигации и научных исследований. Качество уравнивания напрямую определяет надёжность всех последующих геодезических работ, опирающихся на пункты государственной или местной сети.

¶Источники

• Большаков В. Д., Маркузе Ю. И. «Практикум по теории математической обработки геодезических измерений».
• Маркузе Ю. И. «Основы уравнительных вычислений».
• Инструкция по развитию государственных геодезических сетей (ГКИНП).