Вписанный угол в окружности¶
Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами этой окружности. Вписанный угол является одним из базовых понятий геометрии окружности и тесно связан с центральным углом, опирающимся на ту же дугу.
¶Основное свойство
Ключевое свойство вписанного угла сформулировано в теореме: величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Если дуга, на которую опирается вписанный угол, измеряется в градусах, то:
α = ½ β
где α — величина вписанного угла, β — величина центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Следствия из этой теоремы:
- Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой.
- Вписанный угол, опирающийся на полукруг (так называемый угол, вписанный в полукруг), равен 90°. Это частный случай, известный как теорема Талеса.
- Вписанный угол, опирающийся на дугу больше полукруга, будет тупым (больше 90°), а на дугу меньше полукруга — острым (меньше 90°).
¶Доказательство теоремы
Доказательство проводится для трёх случаев:
- Центр угла лежит на одной из сторон угла. Пусть одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности. Тогда образуется равнобедренный треугольник (две стороны — радиусы), внешний угол которого равен сумме двух внутренних невыпуклых, что и даёт нужное соотношение.
- Центр угла лежит внутри угла. Проводят диаметр через вершину угла. Угол разбивается на два, каждый из которых сводится к первому случаю. Суммирование даёт общую формулу.
- Центр угла лежит вне угла. Аналогично проводят диаметр через вершину, но на этот раз вычитают углы.
¶Вписанный четырёхугольник
Частный случай применения свойства вписанного угла — вписанный четырёхугольник, все вершины которого лежат на окружности. Его стороны являются хордами, а углы — вписанными углами, опирающимися на противоположные дуги.
Основное свойство вписанного четырёхугольника: сумма противоположных углов равна 180° (углы четырёхугольника попарно дополняют друг друга до прямого угла). Это свойство является необходимым и достаточным условием вписанности четырёхугольника: если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180°, то он может быть вписан в окружность.
¶Обратная теорема
Существует и обратное утверждение: если точка, лежащая внутри угла, такова, что угол при этой точке равен половине центрального угла, опирающегося на дугу, то эта точка лежит на окружности. Более точно: если точки A, B, C лежат на окружности, а точка D лежит по ту же сторону прямой AC, что и точка B, и угол ADC равен углу ABC, то точка D также лежит на этой окружности. Это свойство лежит в основе построения окружности, проходящей через три точки.
¶Применение
Свойства вписанного угла широко используются в школьном курсе геометрии и имеют практическое значение:
- Геометрические построения. Теорема о вписанном угле позволяет строить окружности, проходящие через заданные точки, и определять центры окружности по хордам.
- Тригонометрия. Связь вписанного и центрального углов лежит в основе определения тригонометрических функций через единичную окружность.
- Инженерные расчёты. В строительстве и механике при работе с дуговыми элементами (арки, кольца, шестерни) используются зависимости, вытекающие из свойств вписанного угла.
- Компьютерная графика. Алгоритмы определения, лежит ли точка внутри дуги или сектора, основаны на сравнении вписанных углов.
¶Связанные понятия
- Центральный угол — угол, вершина которого совпадает с центром окружности.
- Опирающийся угол — более общее понятие: угол, стороны которого пересекают окружность, причём хотя бы одна сторона является хордой.
- Вписанная окружность — окружность, касающаяся всех сторон многоугольника; понятие обратное вписанному углу (многоугольник вписан в окружность, окружность вписана в многоугольник).
¶Историческая справка
Свойства вписанного угла были известны ещё в Древней Греции. Теорема о равенстве вписанного угла половине центрального содержится в «Началах» Евклида (книга III, propositions 20). Теорема Талеса о вписанном угле, опирающемся на диаметр, приписывается философу и математику Талесу Милетскому (VII—VI вв. до н. э.) и считается одной из первых доказанных теорем в истории математики.
Источники:
- Евклид. Начала, книга III
- Иродов И. Е. Задачи по общей физике (справочные геометрические формулы)
- Погорелов А. В. Геометрия для 7—11 классов
- Киселёв А. П. Геометрия. Алгебра. 7—9 классы