Задание 16 ЕГЭ по математике (профильный уровень)¶
Задание 16 ЕГЭ по математике (профильный уровень) — часть второй экзаменационной работы по математике профильного уровня, посвящённая геометрическим задачам. Задание имеет повышенную сложность и стоит 2 балла (максимум за всю часть 2 — 12 баллов). В задании 16 традиционно проверяется умение решать задачи на вычисление площадей и объёмов фигур, применять формулы площадей и объёмов, использовать теоремы о площадях и объёмах подобных и равновеликих фигур, а также элементы стереометрии и планиметрии.
¶Структура задания
Задание 16 относится к части 2 контрольно-измерительных материалов (КИМ) ЕГЭ по математике профильного уровня. Работа состоит из двух частей: часть 1 (задания 1–11 с кратким ответом) и часть 2 (задания 12–19 с развёрнутым ответом). Задание 16 традиционно стоит 2 балла и имеет повышенную сложность. Ответ на задание — число, которое нужно записать в поле ответа на бланке.
Типовой формат задания: по условиям задачи требуется найти площадь или объём некоторой фигуры, часто — при заданных параметрах (сторона, радиус, высота, угол). В части 2 задания могут встречаться задачи на:
- вычисление площади треугольника, четырёхугольника, круга, сектора;
- вычисление объёма пирамиды, призмы, цилиндра, конуса, шара;
- нахождение площади поверхности тел вращения;
- задачи, требующие применения теорем Пифагора, косинусов, синусов;
- задачи на подобие и подобные треугольники.
¶Основные формулы
Для успешного решения задания 16 необходимо уверенно владеть базовым набором формул планиметрии и стереометрии.
¶Планиметрия
| Фигура | Формула площади |
|---|---|
| Треугольник | $S = \frac{1}{2}ah$, $S = \frac{1}{2}ab\sin C$, формула Герона |
| Параллелограмм | $S = ah$ |
| Трапеция | $S = \frac{a+b}{2}h$ |
| Круг | $S = \pi R^2$ |
| Сектор | $S = \frac{\pi R^2 \alpha}{360°}$ |
¶Стереометрия
| Тело | Объём | Площадь поверхности |
|---|---|---|
| Призма | $V = Sh$ | $S = 2S_{осн} + S_{бок}$ |
| Пирамида | $V = \frac{1}{3}Sh$ | $S = S_{осн} + S_{бок}$ |
| Цилиндр | $V = \pi R^2 h$ | $S = 2\pi R(R+h)$ |
| Конус | $V = \frac{1}{3}\pi R^2 h$ | $S = \pi R(R+l)$, где $l$ — образующая |
| Шар | $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ | $S = 4\pi R^2$ |
¶Типичные приёмы решения
¶Задачи на вычисление площади
Типичная задача: «Найдите площадь треугольника, если известны две стороны и угол между ними». Решение сводится к применению формулы $S = \frac{1}{2}ab\sin C$. Если известны три стороны — используется формула Герона. Часто встречаются задачи, где треугольник вписан в окружность или является частью более сложной фигуры; в таких случаях площадь ищут как разность или сумму площадей нескольких фигур.
¶Задачи на вычисление объёма
Типичная задача: «Найдите объём пирамиды с прямоугольным основанием, если известны стороны основания и высота». Решение — прямое применение формулы $V = \frac{1}{3}Sh$. Более сложные варианты: конус, вписанный в цилиндр или шар; пирамида, высота которой проходит через центр основания. В таких задачах ключевым шагом является нахождение высоты через теорему Пифагора или через подобие треугольников.
¶Задачи на подобие
Теорема о подобных треугольниках: если два треугольника подобны с коэффициентом $k$, то отношение их площадей равно $k^2$, а отношение объёмов подобных тел — $k^3$. Этот приём часто используется в задании 16, когда фигура делится на части или когда требуется найти линейный размер по известной площади/объёму.
¶Задачи на вписанные и описанные фигуры
Часто встречаются задачи, где круг вписан в треугольник или квадрат, либо треугольник вписан в окружность. Решение таких задач требует знания соотношений между радиусом вписанной окружности, сторонами треугольника и его площадью ($S = pr$, где $p$ — полупериметр, $r$ — радиус вписанной окружности).
¶Стратегия подготовки
- Выучить формулы. Необходимо знать наизусть все формулы площадей и объёмов основных фигур, а также теоремы Пифагора, косинусов, синусов, теорему о площади треугольника через радиус вписанной окружности.
- Решать типовые задания прошлых лет. ФИПИ публикует открытый банк заданий, где можно найти множество вариантов задания 16 разного уровня сложности.
- Тренировать вычислительные навыки. Задание 16 часто требует аккуратных вычислений с корнями и $\pi$; ошибки чаще всего возникают именно на этапе вычислений, а не на этапе выбора формулы.
- Учиться рисовать и читать чертежи. В задании 16 изображение фигуры часто является ключом к решению; умение корректно дополнить чертёж вспомогательными линиями существенно упрощает задачу.
- Проверять ответ. После решения задачи полезно оценить порядок величины ответа: например, объём тела со сторонами около 10 см не может быть равен 0,001 см³.
¶Частые ошибки
- Подстановка в формулу радиуса вместо диаметра (и наоборот).
- Забывание множителя $\frac{1}{3}$ в формуле объёма пирамиды и конуса.
- Неверное определение высоты: высота — перпендикуляр, опущенный на прямую (плоскость), содержащую основание, а не длина стороны.
- Ошибки при переводе единиц измерения (см ↔ м).
- Неверное применение теоремы косинусов из-за неверного выбора угла.
¶Источники
- ФИПИ. Открытый банк заданий ЕГЭ по математике (профильный уровень).
- Демонстрационные варианты ЕГЭ по математике профильного уровня (ФИПИ).
- Сборники задач по планиметрии и стереометрии для подготовки к ЕГЭ (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов и др.).