Закон Гаусса

Закон Гаусса — один из фундаментальных законов электродинамики, являющийся частью системы уравнений Максвелла. Он устанавливает связь между потоком напряжённости электрического поля через замкнутую поверхность и полным электрическим зарядом, находящимся внутри этой поверхности. Закон сформулирован немецким математиком и физиком Карлом Фридрихом Гауссом и представляет собой интегральную форму теоремы Остроградского — Гаусса, применённую к электрическому полю.

Формулировка

В интегральной форме закон Гаусса для электрического поля в вакууме записывается следующим образом:

∮ₛ E · dS = Q / ε₀

где:

• ∮ₛ — интеграл по замкнутой поверхности S;
• E — вектор напряжённости электрического поля;
• dS — вектор элементарной площадки, направленный по внешней нормали к поверхности;
• Q — полный электрический заряд, заключённый внутри поверхности S;
• ε₀ — электрическая постоянная (≈ 8,854 × 10⁻¹² Ф/м).

В среде (диэлектрике) закон принимает вид:

∮ₛ D · dS = Q_free

где D — вектор электрического смещения, а Q_free — свободный заряд (не связанный с поляризацией диэлектрика).

В дифференциальной форме закон Гаусса выражается через дивергенцию вектора напряжённости:

∇ · E = ρ / ε₀

где ρ — объёмная плотность электрического заряда.

История

Закон был впервые опубликован Гауссом в 1835 году в работе «Общие теоремы, относящиеся к силам притяжения и отталкивания, действующим обратно пропорционально квадрату расстояния». Однако математическая основа — теорема Остроградского — Гаусса — была установлена ранее Михаилом Васильевичем Остроградским (1828) и независимо Гауссом (1813). В физике закон Гаусса стал одним из ключевых элементов при создании Джеймсом Клерком Максвеллом теории электромагнитного поля (1860-е годы).

Физический смысл

Закон Гаусса является прямым следствием закона Кулона и принципа суперпозиции. Он утверждает, что электрическое поле, создаваемое точечным зарядом, убывает обратно пропорционально квадрату расстояния, и что поток поля через замкнутую поверхность зависит только от заряда внутри неё, а не от формы поверхности или распределения заряда.

Важное следствие: если внутри замкнутой поверхности нет зарядов (Q = 0), то полный поток электрического поля через неё равен нулю. Это означает, что число силовых линий, входящих в поверхность, равно числу выходящих из неё.

Применение

Расчёт электрических полей

Закон Гаусса позволяет значительно упростить вычисление напряжённости электрического поля для систем с высокой симметрией (сферической, цилиндрической, плоской). Примеры:

• Поле точечного заряда — сферическая симметрия. Выбирая в качестве гауссовой поверхности сферу радиуса r, получаем: E = Q / (4πε₀r²).
• Поле бесконечной равномерно заряженной плоскости — плоская симметрия. Гауссова поверхность — цилиндр, пересекающий плоскость. Результат: E = σ / (2ε₀), где σ — поверхностная плотность заряда.
• Поле бесконечного равномерно заряженного цилиндра — цилиндрическая симметрия. Напряжённость на расстоянии r от оси: E = λ / (2πε₀r), где λ — линейная плотность заряда.
• Поле внутри и снаружи равномерно заряженного шара — сферическая симметрия. Внутри шара поле линейно растёт с расстоянием от центра, снаружи — убывает как у точечного заряда.

Электростатика проводников

В проводниках в равновесии электрическое поле внутри равно нулю. Из закона Гаусса следует, что весь заряд проводника сосредоточен на его поверхности. Поле вблизи поверхности проводника перпендикулярно ей и равно σ / ε₀.

Теорема Гаусса для магнитного поля

Аналогичный закон существует для магнитного поля, но он утверждает, что поток магнитной индукции через любую замкнутную поверхность равен нулю: ∮ₛ B · dS = 0. Это отражает отсутствие магнитных монополей в природе.

Связь с другими законами

Закон Гаусса является одним из четырёх уравнений Максвелла. Вместе с законом Фарадея (электромагнитная индукция), законом Ампера (связь магнитного поля с током) и законом отсутствия магнитных зарядов он образует полную систему, описывающую классическую электродинамику.

Примеры решения задач

Пример 1: Поле равномерно заряженной сферы

Пусть имеется сфера радиуса R с полным зарядом Q. Для точки на расстоянии r > R гауссова поверхность — сфера радиуса r. По закону Гаусса: E · 4πr² = Q / ε₀ → E = Q / (4πε₀r²). Для точки внутри сферы (r < R) заряд внутри гауссовой поверхности равен нулю, поэтому E = 0.

Пример 2: Поле бесконечной плоскости

Плоскость с поверхностной плотностью заряда σ. Гауссова поверхность — цилиндр с площадью основания A, пересекающий плоскость. Поток через боковую поверхность равен нулю, через два основания — 2EA. Заряд внутри цилиндра: σA. По закону Гаусса: 2EA = σA / ε₀ → E = σ / (2ε₀).

Интересные факты

• Закон Гаусса справедлив не только для электрических, но и для гравитационных полей, если заменить заряд на массу, а ε₀ на 1/(4πG), где G — гравитационная постоянная.
• В дифференциальной форме закон Гаусса является одним из первых примеров использования понятия дивергенции в физике.
• Экспериментальная проверка закона Гаусса подтверждает, что показатель степени в законе Кулона равен 2 с точностью до 10⁻¹⁶.

Источники

• Сивухин Д. В. Общий курс физики. Том 3: Электричество. — М.: Физматлит, 2004.
• Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Том 5: Электричество и магнетизм. — М.: Мир, 1977.
• Матвеев А. Н. Электричество и магнетизм. — М.: Высшая школа, 1983.
• Гаусс К. Ф. Общие теоремы, относящиеся к силам притяжения и отталкивания, действующим обратно пропорционально квадрату расстояния (1835).