Знак плюс в математике и других областях¶

Плюс (от лат. plus — «более») — математический и типографский символ «+», обозначающий операцию сложения, а также знак положительной величины, приращения или принадлежности. В широком смысле слово «плюс» используется для обозначения добавления, преимущества или положительного качества в самых разных контекстах — от арифметики до повседневной речи.

¶Происхождение знака

Символ «+» имеет несколько версий происхождения. Наиболее распространённая связывает его с латинским союзом «et» («и»): при быстром письме буквы e и t сливались в лигатуру, напоминающую крест. Другая версия указывает на использование знака в качестве отметки на товарных ящиках для обозначения избытка (в противоположность знаку «−» для недостачи).

В печатных математических трудах знак «+» впервые встречается в немецких книгах конца XV века — в арифметике Иоганна Видмана (1489) он использовался для обозначения избытка и недостатка в торговых расчётах. В качестве полноценного символа сложения «+» закрепился в XVI веке, а широкое распространение получил благодаря работам европейских математиков XVII столетия. В России знак вошёл в употребление вместе с европейской математической традицией в XVIII веке, в том числе в трудах Леонарда Эйлера, работавшего в Петербургской академии наук.

¶Математическое значение

В арифметике знак «+» обозначает бинарную операцию сложения: результат применения операции к двум числам называется суммой. Сложение обладает свойствами коммутативности (a + b = b + a) и ассоциативности ((a + b) + c = a + (b + c)), а нейтральным элементом служит ноль.

Унарный плюс (запись вида +a) указывает на положительность числа или оставляет его значение неизменным; в отличие от унарного минуса, он не меняет знак величины. В алгебре и анализе знак используется для обозначения операций в различных структурах — группах, кольцах, векторных пространствах, где «+» может означать не только сложение чисел, но и сложение векторов, матриц, функций, полиномов.

В комбинаторике и теории вероятностей знак «+» нередко обозначает объединение несовместных событий или логическую дизъюнкцию. В теории множеств аналогом служит символ объединения, хотя классический «+» там применяется реже.

¶Обозначение положительных величин

В физике, экономике и технике знак «+» маркирует положительные значения величин: положительный заряд, приращение температуры, прибыль, положительное напряжение. В записи чисел он может указывать на направление (например, в системах координат) или на приращение параметра (Δx > 0).

В медицине знак «+» используется в анализах и классификациях: например, резус-фактор обозначается как Rh+, а степень выраженности реакции или стадии процесса может кодироваться числом плюсов. В спорте «+» применяется в турнирных таблицах для обозначения разницы забитых и пропущенных мячей или очков.

¶В информатике и программировании

В языках программирования символ «+» обычно выполняет роль оператора сложения для чисел и конкатенации (соединения) строк. Поведение оператора зависит от типов операндов: в языках со строгой типизацией сложение числа и строки может вызывать ошибку, в языках с динамической типизацией — приводить к неявному преобразованию.

В регулярных выражениях «+» — квантификатор, означающий «одно или более повторений» предшествующего элемента. В системах контроля версий (например, в diff-формате) строки, начинающиеся с «+», обозначают добавленный код. В сетевых и телефонных номерах «+» указывает на международный формат записи.

¶В повседневной речи и культуре

Слово «плюс» в русском языке давно вышло за пределы математики. Оно употребляется как существительное со значением «достоинство, положительная сторона» («взвесить все плюсы и минусы») и как разговорная частица, близкая по смыслу к союзам «и», «к тому же» («он умён, плюс ко всему трудолюбив»). В школьной системе оценок «плюс» и «минус» служат дополнительными пометками к основной отметке.

В типографике знак «+» применяется в оформлении списков, схем, рекламных материалов. В музыкальной нотации повышение звука на полутон обозначается знаком диеза, а не плюсом, однако в табулатурах и цифровых записях аккордов «+» иногда указывает на увеличенный аккорд (augmented).

¶Типографика и кодирование

В стандарте Юникод знак «+» имеет код U+002B и относится к основным символам ASCII. Существуют также производные символы: «±» (плюс-минус, U+00B1), «＋» (полноширинный плюс), «➕» (эмодзи). В математической вёрстке (LaTeX) знак набирается командой +, а для бинарных операторов используются специальные окружения.

В русской типографской традиции знак «+» при записи чисел и формул отделяется от операндов пробелами в текстовом наборе, тогда как в формулах внутристрочного типа пробелы могут опускаться. В наборе телефонных номеров и адресов электронной почты пробелы не ставятся.

¶Смежные и противоположные понятия

Парным к плюсу является знак минус «−», обозначающий вычитание, отрицательную величину или недостаток. Совместно они образуют основу записи положительных и отрицательных чисел, а также алгебраических выражений. Знак «±» используется там, где возможны два значения или где указывается погрешность измерения.

В логике и теории множеств аналогами служат символы дизъюнкции и объединения, а в статистике — знаки приращения и отклонения. Таким образом, «плюс» представляет собой один из базовых символов человеческой коммуникации, объединяющий математику, естественные науки, технику и обыденную речь.

Источники: Математическая энциклопедия; Большая российская энциклопедия; справочники по типографике и вёрстке; документация по языкам программирования и стандарту Юникод.