13 задание ЕГЭ по математике (профильный уровень)¶
13 задание ЕГЭ по математике — это задание повышенной сложности профильного уровня, входящее в КИМ ЕГЭ по математике. Оно посвящено геометрии и проверяет умение решать задачи на вычисление площадей и объёмов фигур, применение формул планиметрии и стереометрии. Максимальный балл за верное решение — 2 балла (по шкале 2024 года). Задание соответствует разделу «Геометрия» демоверсии ФИПИ и традиционно входит в блок заданий с кратким ответом.
¶Структура и типичное содержание
Задание 13, как правило, содержит два подзадания (13.1 и 13.2), связанные одной геометрической ситуацией. В подзадании 13.1 обычно требуется найти площадь некоторой фигуры (треугольника, четырёхугольника, сечения), а в 13.2 — объём тела (пирамиды, призмы, составного тела). Иногда условие включает элементы координатной плоскости или аналитическую геометрию.
Типовые объекты задач:
- правильные четырёхугольные и треугольные пирамиды;
- призмы (в том числе наклонные);
- шар, вписанный или описанный около фигур;
- сечения пирамид и призм плоскостями;
- фигуры на клетчатой бумаге или в системе координат.
¶Методы решения
¶Планиметрическая часть
Основа решения — владение формулами планиметрии:
- площадь треугольника: $S = \frac{1}{2}ah$, $S = \frac{1}{2}ab\sin C$, формула Герона;
- площадь четырёхугольника через диагонали и угол между ними: $S = \frac{1}{2}d_1 d_2 \sin\varphi$;
- свойства подобных треугольников и теорема Пифагора;
- теорема синусов и теорема косинусов.
Часто задача сводится к тому, чтобы разбить сложную фигуру на несколько простых или вычесть площадь одной фигуры из другой.
¶Стереометрическая часть
Для объёмов используются формулы:
- призма: $V = Sh$, где $S$ — площадь основания, $h$ — высота;
- пирамида: $V = \frac{1}{3}Sh$;
- шар: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.
Ключевой навык — правильно определить высоту тела. В наклонных пирамидах и призмах высота не совпадает с ребром, поэтому её находят через перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания, применяя теорему Талеса, подобие треугольников или векторный метод.
¶Векторный метод
Для нахождения углов, расстояний и высот удобно задать координаты вершин и использовать скалярное произведение векторов:
$$\cos\langle \vec{a}, \vec{b}\rangle = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$$
Расстояние от точки до плоскости и угол между прямой и плоскостью удобно вычислять через вектор нормали к плоскости.
¶Пошаговый алгоритм решения
- Прочитать условие дважды и записать все известные величины, отметить их на чертеже.
- Построить корректный чертёж. Наглядный чертёж помогает увидеть нужное сечение или вспомогательную линию.
- Определить, что именно требуется найти — площадь, объём, отношение величин.
- Выбрать формулу, через которую искомая величина выражается известными.
- Найти недостающие элементы (высоты, углы, стороны) через теоремы планиметрии или векторный метод.
- Подставить и вычислить, аккуратно работая с дробями и корнями.
- Проверить размерность и величину ответа: объём должен быть в кубических единицах, площадь — в квадратных.
¶Типичные ошибки
- Путаница между высотой пирамиды и её боковым ребром.
- Неверное определение проекции вершины на основание в наклонной пирамиде.
- Ошибка при вычислении площади сечения: использование неверного угла между диагоналями.
- Неправильное применение формулы объёма составного тела (забывают вычесть объём вырезанной части).
- Арифметические ошибки при работе с $\sqrt{3}$ и $\pi$.
¶Подготовка к заданию
Для уверенного решения задания 13 рекомендуется:
- выучить все формулы планиметрии и стереометрии, включая формулу площади поверхности пирамиды и призмы;
- отработать типовые задачи из открытого банка заданий ФИПИ за последние 5–7 лет;
- потренироваться в построении сечений пирамид и призм;
- освоить векторный метод решения задач стереометрии;
- решать задания 13 в ограниченное время (рекомендуемый лимит — 15–20 минут на оба подзадания).
Поскольку задание 13 стоит 2 балла, его решение существенно влияет на итоговую оценку: без верного ответа на это задание набрать высокий балл за профильный уровень затруднительно.
¶Источники
- Демоверсия ЕГЭ по математике (профильный уровень), ФИПИ.
- Открытый банк заданий ФИПИ, раздел «Геометрия».
- Спецификация контрольных измерительных материалов ЕГЭ по математике (профильный уровень).
- Материалы подготовительных курсов по математике для профильного ЕГЭ.