Аксиома — исходное положение математики и логики¶

Аксиома (от др.-греч. ἀξίωμα — «достойное, заслуживающее, утверждение») — высказывание, принимаемое в качестве исходного, не требующего доказательства положения в той или иной теории. Аксиомы образуют фундамент формальных систем, дедуктивных теорий и математических дисциплин: из них с помощью правил вывода выводятся все остальные утверждения — теоремы. Аксиомы не являются «очевидными истинами» в бытовом смысле: их выбор определяется удобством, полезностью и непротиворечивостью теории.

¶История понятия

¶Античность

Термин «аксиома» ввёл в употребление Евклид (около 300 года до н. э.) в «Началах» — фундаментальном труде по геометрии. Евклид разделил положения на аксиомы (общие для всех наук) и постулаты (специфические для геометрии). К аксиомам он относил, например, утверждение «равным равное прибавлять — равное получится», а к постулатам — знаменитый пятый постулат о параллельных прямых.

В древнегреческой философии аксиома понималась как самоочевидная истина, не нуждающаяся в обосновании. Аристотель определял её как «достойное принятия посылку», которая не может быть доказана, но и не нуждается в доказательстве, поскольку очевидна.

¶Средние века и Новое время

Средневековая логика и схоластика сохранили аристотелевское понимание аксиомы как начала знания. В эпоху Нового времени, с развитием аналитической геометрии и математического анализа, аксиомы начали рассматривать не как «очевидные истины», а как условные допущения, из которых строится дедуктивная система. Лейбниц и его последователи подчёркивали условный характер аксиоматического метода.

¶XX век

Развитие математической логики в конце XIX — начале XX века привело к пересмотру понятия аксиомы. Давид Гильберт в работе «Основания геометрии» (1899) предложил аксиоматизировать геометрию, трактуя аксиомы как формальные условия, определяющие структуру модели, а не как содержательные истины. Гильберт сформулировал задачу непротиворечивости аксиоматических систем и предложил программу обоснования математики.

В 1931 году Курт Гёдель опубликовал теоремы о неполноте, показавшие, что в любой достаточно богатой непротиворечивой формальной системе существуют истинные утверждения, недоказуемые из аксиом. Это ограничило возможности аксиоматического метода и показало, что полное обоснование математики невозможно средствами самой математики.

¶Классификация

Аксиомы принято разделять по нескольким основаниям:

¶Логические аксиомы

Логические аксиомы — схемы высказываний, истинность которых принимается по определению логического вывода. К ним относятся, например, закон исключённого третьего, закон двойного отрицания, аксиомы пропозициональной логики (например, аксиома (A → (B → A)) и др.). Логические аксиомы входят в состав любой формальной системы.

¶Математические аксиомы

Математические аксиомы задают свойства математических объектов. Примеры:

• Аксиомы натуральных чисел (Пеано): существование нуля, аксиома индукции, аксиома о том, что у каждого числа есть следующее.
• Аксиомы теории множеств (Цермело — Френкель): аксиома пустого множества, аксиома пары, аксиома объединения, аксиома замены, аксиома регулярности и др.
• Аксиомы евклидовой геометрии: пять постулатов Евклида.

¶Независимость аксиом

Важное свойство аксиомы — её независимость: аксиома называется независимой, если она не выводится из остальных аксиом системы. Показ независимости обычно осуществляется путём построения модели, в которой все остальные аксиомы выполняются, а данная — нарушается. Классический пример — независимость пятого постулата Евклида, что было доказано в XIX веке построением неевклидовых геометрий (Лобачевский, Бояй, Гаусс).

¶Аксиоматический метод

Аксиоматический метод — способ построения научной теории, при котором из некоторого набора исходных положений (аксиом) дедуктивно выводятся все остальные утверждения. Метод получил развитие в трудах Евклида, Гильберта, Бурбаки.

Современное понимание аксиоматического метода включает:

1. Формализацию языка теории.
2. Перечисление аксиом в виде формул.
3. Определение правил вывода.
4. Построение моделей теории.

¶Аксиомы и философия

Проблема обоснования аксиом имеет глубокое философское значение. Существуют две основные позиции:

• Рационализм: аксиомы — самоочевидные истины, познаваемые разумом.
• Эмпиризм / формализм: аксиомы — условные допущения, ценность которых определяется плодотворностью теории.

Позитивизм и логический эмпиризм рассматривают математические аксиомы как аналитические утверждения или как обобщения опыта. Интуиционизм (Брауэр) отвергает закон исключённого третьего как аксиому, требуя конструктивных доказательств.

¶Применение

Аксиоматический метод применяется во всех разделах современной математики: теории множеств, алгебре, топологии, теории вероятностей, математической логике. Аксиомы используются в теоретической физике (например, аксиомы квантовой механики Дирка — фон Неймана), теории игр, кибернетике.

В образовании аксиоматический метод является основой преподавания геометрии (курс по «Началам» Евклида или его модернизированные версии, например, курс И. Ф. Шарыгина).

Источники:

• Евклид. Начала.
• Гильберт Д. Основания геометрии. 1899.
• Гёдель К. О неполноте формальных систем. 1931.
• Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения более высоких понятий.
• Бурбаки Н. Основания математики.
• Клайн М. Математика. Поиск истины.