Числа в математике¶

Числа — математические объекты, используемые для количественной характеристики, счёта и измерения. Понятие числа развивалось на протяжении тысячелетий, постепенно расширяясь от натуральных чисел до абстрактных алгебраических структур. В современной математике под числами понимают элементы различных числовых систем, образующих поля, кольца и другие алгебраические конструкции.

¶История возникновения

Потребность в числах возникла у первобытных обществ при счёте скота, добычи и людей. Древние египтяне и вавилоняне к III тысячелетию до н. э. владели системой счисления и умели выполнять арифметические действия. Индийские математики в I—V веках н. э. ввели понятие нуля как самостоятельного числа и разработали десятичную позиционную систему счисления, которая через арабских учёных (ал-Хорезми, IX век) попала в Европу и получила название «арабские цифры».

В Древней Греции числа изучались в рамках пифагорейской школы, считавшей, что «всё есть число». Открытие иррациональных чисел (по преданию, Гиппас из Метапонта) стало серьёзным кризисом для пифагорейского мировоззрения. Позднее Евклид в «Началах» дал строгое определение иррациональных величин через пропорции.

¶Основные виды чисел

¶Натуральные числа

Наиболее древний класс чисел. Понятие натурального числа формализуется в аксиоматике Пеано (1889), где 0 (или 1) объявляется базовым, а каждому числу сопоставляется следующее за ним. Сложение и умножение натуральных чисел определяются рекурсивно.

¶Целые и рациональные числа

Целые числа возникли из потребности учитывать долг и недостачу. Рациональные числа позволяют выражать результаты деления. Оба множества образуют кольца, причём ℚ — поле, то есть в нём определено деление на любое ненулевое число.

¶Действительные числа

Понятие действительного числа связано с задачей измерения непрерывных величин. Строгая конструкция ℝ была создана в XIX веке Рихардом Дедекиндом (сечения Дедекинда, 1872) и Георгом Кантором (последовательности Коши — Кантора). Действительные числа обладают свойством полноты: любая ограниченная сверху последовательность имеет точную верхнюю границу.

¶Комплексные числа

Комплексные числа введены в XVI веке итальянскими математиками (Тарталья, Кардано, Бомбелли) для решения кубических уравнений. Долгое время они считались «мнимыми», пока Карл Гаусс и Леонард Эйлер в XVIII—XIX веках не показали их естественность. Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле: любое алгебраическое уравнение имеет в ℂ решение.

¶Числовые множества и их обобщения

За пределами классической иерархии существуют более специальные множества:

• Простые числа — натуральные числа, имеющие ровно два делителя: 1 и само себя. Теорема Евклида о бесконечном числе простых чисел доказана около 300 г. до н. э.
• Числа Ферма и числа Мерсенна — особый вид простых чисел, важных для теории чисел и криптографии.
• Кватернионы (Гамильтон, 1843) — некоммутативное расширение ℂ.
• p-адические числа (Курт Гензель, 1897) — альтернативная метрика на рациональных числах, нашедшая применение в современной теории чисел.

¶Применение

Числа используются во всех областях науки и техники. Теория чисел находит применение в криптографии (RSA-алгоритм основан на свойствах простых чисел). Комплексные числа применяются в электротехнике, квантовой механике и обработке сигналов. Действительные числа лежат в основе математического анализа, физики и инженерных расчётов.

¶Интересные факты

• Понятие нуля как числа появилось в Индии позже других цифр; его долгое время не признавали в Европе.
• Теорема Кантора (1891) показала, что множество действительных чисел несчётно, то есть «больше», чем множество натуральных.
• Иррациональность числа π была доказана Иоганном Ламбертом в 1761 году.

¶Источники

• Кудрявцев Л. Д. «Курс истории математики»
• Новиков И. К. «Элементы математической логики»
• Евклид. «Начала»
• Гельфонд А. О., Кузьмин Р. О. «Основы теории чисел»
• Кантор Г. «Объяснение некоторых понятий арифметики посредством понятия о множестве»