Косинус угла между векторами¶
Косинус угла между векторами — скалярная функция, определяющая величину, пропорциональную косинусу угла между двумя векторами. В евклидовом пространстве косинус угла между векторами a и b определяется как отношение их скалярного произведения к произведению модулей:
cos α = (a · b) / (|a| · |b|)
где a · b — скалярное произведение векторов, |a| и |b| — длины (модули) векторов, α — угол между векторами. Данная формула является одним из фундаментальных определений в линейной алгебре и аналитической геометрии и применяется в физике, инженерии и информатике.
¶Определение
Косинус угла между векторами — это величина, лежащая в диапазоне от −1 до 1. Значение cos α = 1 соответствует совпадающим направлениям векторов (угол 0°), cos α = −1 — противоположным направлениям (угол 180°), а cos α = 0 — перпендикулярности векторов (угол 90°). Значение косинуса не зависит от порядка векторов: cos α (a, b) = cos α (b, a), что следует из коммутативности скалярного произведения.
В ортонормированном базисе, если векторы заданы своими координатами a = (a₁, a₂, …, aₙ) и b = (b₁, b₂, …, bₙ), косинус угла вычисляется по формуле:
cos α = (a₁b₁ + a₂b₂ + … + aₙbₙ) / (√(a₁² + a₂² + … + aₙ²) · √(b₁² + b₂² + … + bₙ²))
¶Связь со скалярным произведением
Косинус угла между векторами напрямую связан со скалярным произведением. В евклидовом пространстве скалярное произведение двух векторов определяется как:
a · b = |a| · |b| · cos α
Это определение эквивалентно формуле, приведённой выше, и является одним из способов задания скалярного произведения. Следствием этого определения являются свойства:
- a · a = |a|² — квадрат модуля вектора;
- a · b = 0 тогда и только тогда, когда векторы перпендикулярны (при условии ненулевых векторов);
- неравенство Коши — Буняковского: |a · b| ≤ |a| · |b|, что следует из того, что |cos α| ≤ 1.
¶Геометрический смысл
Косинус угла между векторами имеет наглядную геометрическую интерпретацию. Если из конца вектора a опустить перпендикуляр на прямую, содержащую вектор b, то проекция a на b равна |a| · cos α. Следовательно, скалярное произведение a · b равно модулю вектора b, умноженному на длину проекции вектора a на направление b.
В двумерном пространстве косинус угла между векторами можно выразить через координаты:
cos α = (a₁b₁ + a₂b₂) / (√(a₁² + a₂²) · √(b₁² + b₂²))
В трёхмерном пространстве формула обобщается аналогичным образом с тремя слагаемыми в числителе и знаменателе.
¶Применение
¶Физика
В физике косинус угла между векторами используется при вычислении работы силы, проекции вектора скорости или ускорения, а также при определении потока векторного поля через поверхность. Формула работы A = F · s = |F| · |s| · cos α, где F — сила, s — перемещение, α — угол между ними, является одним из базовых соотношений механики.
¶Компьютерная графика и информатика
Косинус угла между векторами применяется в алгоритмах определения схожести векторов, в частности в косинусном сходстве, используемом в информационном поиске и обработке естественного языка. Косинусное сходство двух векторов-документов определяется как косинус угла между ними и используется для оценки близости документов в векторном пространстве.
¶Линейная алгебра
Косинус угла между векторами применяется при ортогонализации базисов (метод Грама — Шмидта), при вычислении углов между прямыми и плоскостями, а также при решении задач на наименьшие квадраты.
¶Свойства
- cos α ∈ [−1, 1] для любых векторов;
- cos α = 1 ⇔ a и b сонаправлены;
- cos α = −1 ⇔ a и b противоположно направлены;
- cos α = 0 ⇔ a ⊥ b (при |a| ≠ 0 и |b| ≠ 0);
- косинус угла не определён для нулевого вектора, так как деление на ноль в формуле не имеет смысла.
¶Примеры
Для векторов a = (1, 0) и b = (0, 1) скалярное произведение равно 0, следовательно, cos α = 0, что соответствует углу 90°.
Для векторов a = (1, 1) и b = (1, 0) скалярное произведение равно 1, модули равны √2 и 1 соответственно, поэтому cos α = 1/√2 ≈ 0,707, что соответствует углу 45°.
Для векторов a = (1, 2) и b = (2, 1) скалярное произведение равно 4, модули равны √5 и √5, поэтому cos α = 4/5 = 0,8, что соответствует углу ≈ 36,87°.
¶Источники
- Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа
- Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра
- Курош А. Г. Курс высшей алгебры
- Гранберг А. Г. Математический анализ