Кривизна Риччи

Кривизна Риччи — это тензорное поле на римановом многообразии, которое усредняет секционную кривизну по всем направлениям, проходящим через заданную точку. Является одним из фундаментальных понятий римановой геометрии и общей теории относительности, где входит в уравнения Эйнштейна, связывающие геометрию пространства-времени с распределением материи и энергии.

Определение и формальная запись

Тензор кривизны Риччи (обозначается \( \mathrm{Ric} \)) — это симметричный тензор валентности (0,2), получаемый свёрткой тензора кривизны Римана по первому и третьему индексам (или по второму и четвёртому — в разных соглашениях о знаке). В локальных координатах его компоненты \( R_{ij} \) выражаются через компоненты тензора Римана \( R_{ijk}^l \) как:

\[ R_{ij} = R_{kij}^k = \sum_{k} R_{kij}^k. \]

Геометрический смысл: значение \( \mathrm{Ric}(v,v) \) для единичного касательного вектора \( v \) равно сумме секционных кривизн по всем плоскостям, содержащим \( v \), делённой на \( n-1 \), где \( n \) — размерность многообразия. Иными словами, кривизна Риччи в направлении \( v \) есть средняя кривизна многообразия в этом направлении.

Свойства

• Симметричность: \( \mathrm{Ric}(X,Y) = \mathrm{Ric}(Y,X) \) для любых векторных полей \( X,Y \).
• Линейность: тензор линеен по каждому аргументу.
• Скалярная кривизна: след тензора Риччи по метрике \( g^{ij}R_{ij} \) даёт скалярную кривизну \( R \), которая является полной свёрткой тензора Римана.
• Инвариантность: при изометриях многообразия тензор Риччи преобразуется как тензор, то есть его компоненты меняются по закону преобразования координат.

Классификация по знаку кривизны Риччи

Кривизна Риччи может быть положительной, отрицательной или нулевой в каждой точке (или на всём многообразии). Знак кривизны Риччи существенно влияет на глобальную геометрию и топологию многообразия.

Положительная кривизна Риччи

Многообразия с положительной кривизной Риччи (например, сферы \( S^n \)) обладают рядом свойств:

• Компактность: по теореме Майерса, если кривизна Риччи ограничена снизу положительной константой, то многообразие компактно и его фундаментальная группа конечна.
• Ограниченный диаметр: диаметр такого многообразия не превосходит \( \pi / \sqrt{k} \), где \( k \) — нижняя граница кривизны.
• Примеры: стандартная сфера \( S^n \), проективное пространство \( \mathbb{RP}^n \), некоторые однородные пространства.

Отрицательная кривизна Риччи

Многообразия с отрицательной кривизной Риччи (например, гиперболические пространства \( H^n \)):

• Неограниченный диаметр: такие многообразия могут быть некомпактными.
• Рост объёма: объём геодезических шаров растёт экспоненциально с радиусом.
• Примеры: гиперболические многообразия, поверхности рода \( g \ge 2 \) с метрикой постоянной отрицательной кривизны.

Нулевая кривизна Риччи (Риччи-плоские многообразия)

Многообразия, для которых тензор Риччи тождественно равен нулю, называются Риччи-плоскими. К ним относятся:

• Плоские многообразия (например, евклидово пространство \( \mathbb{R}^n \), торы \( T^n \)).
• Многообразия Калаби — Яу — компактные кэлеровы многообразия с нулевой кривизной Риччи, существование которых было доказано Шинтаном Яу в 1977 году (гипотеза Калаби). Эти многообразия играют ключевую роль в теории струн.

Связь с секционной кривизной

Секционная кривизна \( K(\sigma) \) в двумерной плоскости \( \sigma \) даёт более детальную информацию, чем кривизна Риччи. Однако кривизна Риччи является усреднением секционной кривизны: если все секционные кривизны в точке равны \( k \), то \( \mathrm{Ric} = (n-1)k g \). В общем случае по тензору Риччи нельзя однозначно восстановить тензор Римана, но существуют ограничения: например, в размерности 3 тензор Риччи полностью определяет тензор кривизны.

Применение в общей теории относительности

В общей теории относительности (ОТО) пространство-время описывается четырёхмерным псевдоримановым многообразием с метрикой сигнатуры \( (1,3) \). Уравнения Эйнштейна имеют вид:

\[ R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}, \]

где \( R_{\mu\nu} \) — тензор Риччи, \( R \) — скалярная кривизна, \( \Lambda \) — космологическая постоянная, \( G \) — гравитационная постоянная, \( c \) — скорость света, \( T_{\mu\nu} \) — тензор энергии-импульса материи.

Таким образом, кривизна Риччи непосредственно связана с распределением материи: в вакууме (при \( T_{\mu\nu} = 0 \) и \( \Lambda = 0 \)) пространство-время является Риччи-плоским. Решения уравнений Эйнштейна, такие как метрика Шварцшильда (описывающая чёрную дыру) или метрика Фридмана — Леметра — Робертсона — Уокера (описывающая однородную и изотропную Вселенную), имеют конкретные выражения для тензора Риччи.

История

Понятие тензора кривизны Риччи было введено итальянским математиком Грегорио Риччи-Курбастро в конце XIX века в рамках развития тензорного анализа (абсолютного дифференциального исчисления). Риччи и его ученик Туллио Леви-Чивита разработали формализм, который позже лёг в основу ОТО. Альберт Эйнштейн использовал тензор Риччи при формулировке своих уравнений гравитации (1915 год). В середине XX века Ричард Гамильтон предложил поток Риччи — эволюционное уравнение, деформирующее метрику в направлении её тензора Риччи. Поток Риччи стал ключевым инструментом в доказательстве гипотезы Пуанкаре и гипотезы геометризации Григорием Перельманом (2002–2003 годы).

Поток Риччи

Поток Риччи — это уравнение в частных производных на риманову метрику \( g(t) \):

\[ \frac{\partial g}{\partial t} = -2 \mathrm{Ric}(g). \]

Он «сглаживает» метрику, стремясь сделать кривизну Риччи постоянной. Поток Риччи используется для классификации трёхмерных многообразий: при нормализации он приводит к метрикам постоянной кривизны, что позволяет разбить любое компактное трёхмерное многообразие на части, допускающие одну из восьми модельных геометрий (гипотеза геометризации Тёрстона). Доказательство этой гипотезы Перельманом стало одним из крупнейших достижений математики XXI века.

Интересные факты

• В размерности 2 кривизна Риччи совпадает с гауссовой кривизной, умноженной на метрику: \( \mathrm{Ric} = K g \).
• Существуют многообразия с положительной кривизной Риччи, но отрицательной секционной кривизной в некоторых плоскостях (например, метрика Эггинтона на \( S^2 \times S^2 \)).
• Поток Риччи может приводить к образованию сингулярностей (например, «схлопывание» шейки), что требует процедуры «хирургии» — удаления особых точек и продолжения потока.

Источники

• Риччи Г., Леви-Чивита Т. Методы абсолютного дифференциального исчисления и их приложения. — 1901.
• Эйнштейн А. Основы общей теории относительности. — 1916.
• Громол Д., Клингенберг В., Мейер В. Риманова геометрия в целом. — Мир, 1971.
• Бессе А. Многообразия Эйнштейна. — Мир, 1990.
• Перельман Г. Я. Энтропийная формула для потока Риччи и её геометрические приложения. — 2002.
• Чоу Б., Кноф Д. Поток Риччи: введение. — 2004.